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1、一条线段最值问题的研究 初中阶段线段最值问题涉及广泛，有一条线段的最值问题，两条及多条线段和的最小值问题，还有两条线段差的最大值问题等，这里主要讨论一条线段最值问题。 基本原理：一条线段由两个点组成，不是动点即为定点，可以按照单动点和双动点分类，也可以按照动点形成的轨迹去分类。初中阶段考察最多的轨迹是直线和圆（或其部分），经过排列组合可以得到多种情形（这里不穷举，只讨论常见部分）。由于压轴题中动点形成的轨迹难以确定，或者需要转化，所以也是造成部分优生答题困难的重要原因。基本情形1：一个定点和一个轨迹为定直线的动点如图，给定定点A和直线l上的动点P，利用“垂线段最短”可知AP与l垂直时AP值最小
2、。例1.如图1，在ABC中，CAB=30，CBA=90，BC=1，D为直线AB上一动点，把点D绕点C顺时针旋转60得点E，求BE的最小值分析：D的运动轨迹是直线,所以经过旋转后E的运动轨迹也是直线,所以只需把直线AB绕点C顺时针旋转60可得E的轨迹,从而转化成点到直线的距离.例2.如图2,在ABC中，CAB=15,AC=3,D为直线AB上一动点(不与A、B重合), AED为等腰直角三角形且DAE=90,过E作EFDE,F为垂线上任一动点,G为DF的中点,求线段CG的最小值.分析:连接EG、AG 可得ADGAEG,从而可知CAG=60,所以G在直线上运动, 从而转化成点到直线的距离.例3.如图3
3、,在直角ABC中，CB=3,CA=4，M为斜边AB上一动点，过M作MDAC于D，过M作MEBC于点E，求线段DE的最小值为 . 分析:连接CM,则CM=DE,则只需求CM的最小值,从而双动点转化成单动点,并且又一次转化成点到直线的距离.例4.如图4，ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为_分析：连接OE、OF，可得EF=OE，AD=2OE，而EF= AD，从而只需求出AD的最小值，并且又一次转化成点到直线的距离.基本情形2：一个定点和一个轨迹为定圆的动点如图，已知定点A(A也可在圆内
4、)和圆B上一动点P，且AB=d，圆B半径为r，易知当A、B、P三点共线时的AP有最大值d+r和最小值.例5.如图5，在ABC中，ACB=90，AC=1，AB=2.将ABC绕顶点C顺时针旋转得到ABC,取AC中点E，AB中点P,连接EP，则在旋转过程中线段EP的最大值是 ，最小值是 . 分析: 连接CP可知CP=1,所以P的轨迹是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.例6.如图6，在RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=12,点D在边AC上且AD=4，连结BD，,将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值和最小值.分析：因为BD=2CF，所以只需求BD的最值，而D的轨迹
5、是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.例7.如图7， E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 分析：由全等可以知道DAG=DCG=ABE，GAB=GCB，从而可知AHB=90，所以H的轨迹是圆（确切是半圆），所以此题即可转化成基本情形2.基本情形3：含有其它轨迹的动点这种类型的题目有些可以转化成基本情形1和基本情形2，如例3、例4和例6，有些可以构造三角形，利用三角形第三边大于两边之差小于两边之和，如图,A是定点，B、C是动点，则，当A、B、C三点共线时BC取到最值. 例8.如图8(1)，MON
6、=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .分析：并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也不一定认识，比方说本题可以作DPOA，设AP=a，DP=b，由相似可知OA=2b，所以点D的坐标可以假设为（x，y）=（b，a+2b），根据得，是一个椭圆，所以应该寻求新的方法.如图8(2)取AB的中点E,连接OE、DE、OD,构成三角形，显然ODOE+DE,可得最大值OE+DE.例9.如图9,在AOB中，AB=OB=2，在COD中，CD=OC=3, 连接
7、AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点. 固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.分析：连接BM可知BMC=90,所以BC=2PM,所以只需求BC的最大值即可, BC、OB、OC构成三角形，显然BCOB+OC,可得最大值5.例10,如图10,在RtABC中, ACB=90,BC=6,tanBAC=0.5.点D在边AC的三等分处,将线段AD绕点A旋转,连接BD,F为BD的中点,求线段CF的最大值. 分析：取AB中点G，连接FG、CG，可得CG=，FG=2，又FG、CG、CF构成三角形，显然CFFG+CG,可得最大值. 基本情形4：两个轨迹为定直线的动点这里不讨论两条直
8、线相交情况，如图A、B分别为直线a、b上的动点，且ab，则当ABa时AB有最小值. 例11,如图11,在等腰直角ABC中，BAC=90,AB=2，E、F为直线BC上的动点，M和E关于直线AB对称，AP由线段AF逆时针旋转90得到，求线段PM的最小值.分析：这里M和P形成的轨迹都是直线，并且平行，可以转化成两条平行线之间的距离.基本情形5：两个轨迹为分别为定圆和定直线的动点直线和圆位置关系有三种情况,这里只讨论直线与圆相离的情况.如图圆O与直线l相离,A、P分别为直线l和圆P上的动点，显然当OAl且O、A、P共线时线段AP取到值.设O到直线l的距离为d,圆O半径为r,则AP的最大值为d+r,最小
9、值为d-r.例12,如图12, 在ABC中，BAC=45, ABC=60, CB=2，D为AC右侧一动点，且点D和点B到AC的距离相等，E为BC下方一动点，且BAC=E，求线段DE的最大值. 分析：这里E的轨迹是一段圆弧，D的轨迹是一条与圆相离的直线，从而可以转化成上述情形.基本情形6：两个轨迹为定圆的动点由于两圆的位置关系比较多,这里只讨论相离的情况.如图A、B是圆O和圆P上的动点，则当A、B、O、P四点共线时取到最值.设圆心距为d,两圆半径分别为r和R,则AB的最大值为d+r+R，最小值为d-r-R. 例13,如图13, 在正方形ABCD和正ABE中,AB=2，K、G、F、J分别是边AB、
10、BC、CD、AE上的动点，且AK=EJ，DF=CG，AF、DG交于H，EK、BJ交于L，求线段HL的最小值.分析:易知AHD=90, ELB=120,所以动点H、L的轨迹都是圆的一部分，并且两圆相离，从而可以转化成上述情形.四点补充与说明:基本情形13比较常见,46比较少见,所以例题安排不均,其它的好多情形限于篇幅不涉及;双动点如果是关联的一般可以转化,如果是独立的,应考虑两种常见轨迹;直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线在转化时可能要用到,所以对中点须敏感;线段大小确定但位置不确定和角的大小确定但位置不确定的动点它的轨迹往往是圆或其部分.数学问题范围很广,所以研究时只能抓住一点;数学问题千变万化,所以在变化中只能抓住规律,寻求不变量.
