《2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.2.2等差数列的性质人教A版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.2.2等差数列的性质人教A版必修5（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【思考】,【点拨】,等差数列性质的应用 【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列an是公差为d的等差数列，则 （1）an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列； （2）奇数项数列a2n-1是公差为2d的等差数列；偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列； （3）若kn成等差数列，则 也是等差数列.,【特别提醒】数列an的子数列所具有以上性质的前提是：数列an是等差数列.,【例1】在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8. 【审题指导】由题目可知3+7=4+6=25=2+8，结合等差数列的性质:m+n=p+q am+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a
2、6=2a5=a2+a8. 【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以5a5=450，即a5=90. 又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.,【互动探究】在本题中，若改为a2+a8=180，又如何求a3+a4+a5+a6+a7的值呢？ 【解题提示】利用等差数列的性质. 【解析】因为a2+a8=2a5=180， 所以a5=90. 又因为a3+a7=a4+a6=2a5. 所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=590=450.,【变式训练】在等差数列an中，a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=_. 【解题提示】利用等差数列
3、的性质:m+n=p+qam+an=ap+aq. 【解析】在等差数列an中，a2+a11=a3+a10=a6+a7， a2+a3+a10+a11=2（a6+a7）=48，a6+a7=24. 答案：24,等差数列的有关运算 【名师指津】等差数列有关运算的技巧 （1）当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，; （2）当等差数列an的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：，a-3d,a-d,a+d, a+3d,这样可减少运算量.,【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后
4、一项的6倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数. 【审题指导】由题目可知 （1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d，a，a+d（d为公差）；,（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）; 也可以设出等差数列的首项和公差，建立基本量的方程组求解. 【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）a=6（a+d）， 解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.,方法二：设数列的首项为a,公差
5、为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9, a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为4,3,2.,(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）， 依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2= -8，d2=1，d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d 0， d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.,方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把a=1- d代入a（a+
6、3d）=-8，得（1- d）（1+ d）=-8， 即1- =-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增 等差数列，所以d0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个数为-2，0，2，4.,【变式训练】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方 和为 求这5个数. 【解题提示】等差数列an的项数5为奇数，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a-2d，a-d，a，a+d，a+2d.,【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a-2d, a-d，a，a+d，a+2d.由已知有： 由得，5a=5,a=1,代入整理得10d2= d2= d= 当d= 时，这5个数分别为 当d=-
7、 时，这5个数分别为,等差数列的综合应用 【名师指津】 1.等差数列综合问题的类型： 等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数函数），常与单调性、参数的取值范围以及解三角形等问题相结合考查.,2.解决数列综合问题的方法策略 （1）结合等差数列的性质或利用等差中项. （2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. （3）利用函数或不等式的有关方法解决.,【例】在ABC中，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，且三个内角A,B,C也成等差数列，试判断三角形的形状. 【审题指导】题目中的两个数列都是等差数列，并且都有三项，可充分利用等差中项构造出角的关系式，
8、根据角的关系判断三角形的形状.,【规范解答】由A,B,C成等差数列，得2B=A+C， 又A+B+C=，3B=，B= lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列， 2lgsinB=lgsinA+lgsinC， 即sin2B=sinAsinC,sinAsinC=,又cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC， cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC, sinAsinC=- cos（A+C）-cos（A-C）, - cos -cos（A-C）= cos（A-C）= cos（A-C）=1. （A-C）（ ）,A-C=0,即A=C= A=B=C. 故ABC为等边三角形.,
9、【变式备选】在ABC中，a,b，c分别为A,B,C的对边，如果a,b，c成等差数列，B=30，且ABC的面积为 则b=_. 【解题提示】利用等差数列的性质以及余弦定理求解. 【解析】由a,b，c成等差数列，得a+c=2b，所以a2+2ac+c2=4b2.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB. 即a2+c2=b2+2accosB.,由ABC的面积为 B=30，得 acsinB= 所以2ac=12.综 合以上式子可得b2+12cos30+12=4b2，整理得b2= +4， 又因为b0，所以解得b= +1. 答案： +1,【典例】（12分）已知等差数列an的首项为a1，公差为d，且a11=
10、-26，a51=54，求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗？ 【审题指导】题目中给出了等差数列中的两项，列出方程组可先求出a1和d，再求a14.也可利用等差数列的性质求d，再求a14的值.要判断从第几项为正数，可令an0解不等式求解.,【规范解答】方法一：由等差数列an=a1+（n-1）d列方程 组： 3分 解得 6分 a14=-46+132=-20 8分 an=-46+(n-1)2=2n-48 10分 令an0，即2n-480 n24. 从第25项开始，各项为正数 12分,方法二：在等差数列an中，根据an=am+（n-m）d， a51=a11+40d， 3分 d= （54+26
11、）=2 6分 a14=a11+3d=-26+32=-20 8分 an=a11+（n-11）d=-26+2(n-11),an=2n-48 10分 由an0得：2n-480,n24. 显然当n25时，an0. 即从第25项开始,各项为正数. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】已知等差数列an的首项a1= 第10项是第一个 大于1的项，求公差d的取值范围. 【解题提示】由第10项是第一个大于1的项,则a91，a101,列出不等式组，确定d的范围. 【解析】由a1= 则an= +（n-1）d. 由题意知 即 解得 即公差d的取值范围是,1.等差数列an的公差d=2,
12、a1=2,则an等于（ ） (A)2 (B)2n-2 (C)2n (D)2n+2 【解析】选C.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n.,2.x+1与y-1的等差中项为10，则x+y等于（ ） (A)0 (B)10 (C)20 (D)不确定 【解析】选C.(x+1)+(y-1)=210=20,所以x+y=20.,3.等差数列an中,a2 010+a2 011=888,则a2 009+a2 012=_. 【解析】a2 009+a2 012=a2 010+ a2 011=888. 答案：888,4.等差数列an中，a2=5,a4=a6+6,则a1=_. 【解析】2d=a6-a4=-6,d=-3. a1=a2-d=5-(-3)=8. 答案：8,5.已知等差数列an中，a5+a8=18，求a2+a3+a10+a11. 【解析】an是等差数列， a2+a3+a10+a11=(a2+a11)+(a3+a10)=2(a5+a8)=218=36.,
