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1、高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,11.3 多元复合函数与隐函数的微分法,第11章 多元函数微积分,11.2 多元函数的偏导数与全微分,11.1 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性,11.4 偏导数的应用,11.5 二重积分的概念与性质,11.6 二重积分的计算,多元函数的基本概念,二元函数的极限,二元函数的连续性,11.1 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性,本讲概要,一、多元函数的基本概念,1. 二元函数的定义,设有三个变量 x , y 和 z , D是一给定的非空点集。,变量 z 按,总有唯一确定的值与之对应，,则称 z 是,记为,定义1,如果当x , y 在
2、D中任意取定一对值(x , y )时,照一定的法则,x , y 的二元函数，,点集 D称为 函数的定义域 .,其中 x, y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为,例 1,以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , , xn)，,类似地，,可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ),多于一个自变量的函 数统称为多元函数.,解,二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线 所围成的区域，用 D 表示.,二元函数的定义域,围成区域的曲线称为 区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.,连 同边界在内的区域称闭区域，,如果一个区域可以 被
3、包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内， 则称此区域为有界区域.,求下列函数的定义域 D，,并画出 D 的图形：,例 2,应有,解,所以函数的定义域 D 是以 x = 2 , y = 3 为边界的矩形闭区域.,x,y,O,3,2,- 3,- 2,因为要使函数,应有,是有界区域.,所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，,即 1 x2 + y2 4,x,y,2,1,O,有意义，,解,设D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成.,例 3,x型区域,y型区域,的不等式组来表示平面区域 D :,求形如,D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成.,y = x,y = 1
4、,x = 2,先做出区域 D 的图形，,直线 y = x , y = 1 交于,y = x, y = 2 的交点为(2 , 2).,解,点 (1 , 1).,再将 D 投影到 x 轴上，,得到区间 1 , 2，,则区域 D 内任一点的横坐标 x ，,在 1 , 2 内任取一点 x ，,作平行于 y 轴的直线，,由图可知，,对于所给的 x , D 内对应的纵坐标 y 满足：,则区域 D 表示成 x 型区域为,x,若想把 D 表示成 y 型区域，,则将 D 投影到 y 轴上，,所以在 y 轴上得到区间 1 , 2.,在区间 1, 2 内任意取一点 y ,作平行于 x 轴的直线，,由图可知对于所给的
5、 y ，,D 内对应点的横坐标 x 满足,故 D 表示成 y 型区域为,y,在平面直角坐标系中一元函数y=f(x)一般表示 一条曲线。类似地，在空间直角坐标系中二元函数 z=f(x,y)一般表示一个空间曲面。,2.二元函数的几何意义,例如：,ax+by+cz+d=0,平面,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2,球面,只有两个变量的是柱面,y=x2,抛物柱面,的常数 A ，则称 A 为函数 z = f (x , y) 当(x , y)(x0 , y0) 时的极限，,二、二元函数的极限,设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0)的近旁有定义 (点 P0 可以除外
6、)。,如果当点 P(x , y)以任何方式无限接 近于点 P0(x0 , y0)时，,记为,定义2,函数 f (x , y)无限 接近于一个确定,例 4,令 u = x2 + y2 ，,有时可以转化成一元函数的 极限问题.,二元函数的极限问题,解,所以,因为当x0，y0时,有u0。,例 5,解,所以,当x，y时,例 6,例7,考察函数,当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，,解,而当点 (x, y) 沿 y 轴趋向于原点，,有,即当y=0而,x0时，,有,即当x=0而,y0时，,即当 y = k x ，,但是，当点( x , y )沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点(0,
7、0) 时，,随着 k 的取值不同，,且,设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义，,1. 二元函数的连续定义,三、二元函数的连续性,定义3,则称函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0, y0) 处连续.,如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 内各点都连续，,则称函数 z = f (x , y) 在区域 D 内连续.,例 8,此函数为初等函数，它的定义域为 D= (x , y)|x2 + y2 1，,解,而(1,1),所以,D,有界闭区域上连续 的二元函数，在该区域上一定能取得最大值和最小值.,有界闭区域上连续的二元函数必 能取得它的两个最值之间的任何值,2.有界闭区域上连续函数的性质,性质1（最大值最小值定理）,性质2（介值定理）,小结 1、二元函数的定义和几何意义； 2、二元函数的极限； 3、二元函数的连续性。 作业 习题11.1 5,Thank You !,
