《2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件3.3.2.1简单的线性规划问题人教A版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件3.3.2.1简单的线性规划问题人教A版必修5（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,【思考】,【点拨】,求线性目标函数的最值 解决简单的线性规划问题的方法和步骤 解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法，其步骤为： 画：画出可行域； 变：把目标函数变形为斜截式方程；从纵截距的角度寻找最优解；,【名师指津】,求：解方程组求出最优解； 答：写出目标函数的最值. 【特别提醒】最优解一般在可行域的边界上取得，但有时在区域内取得，尤其是整点为最优解时.,【例1】若变量x,y满足 则z=3x+2y的最大值是 （ ） （A）90 （B）80 （C）70 （D）40 【审题指导】由题目可获得以下主要信息：可行域已知； 目标函数已知.,【规范解答】选C.由题意，满足二元一次不等式组的解
2、的可行域，如图所示.,由z=3x+2y得y= 要求z的最大值，可求 的最大 值，即求斜率为 的直线在可行域内在y轴上截距的最大 值，如图，显然直线过A点时，在y轴上截距最大. 联立 A（10,20）. z=3x+2y的最大值为zmax=310+220=70.故选C.,【互动探究】若本题条件不变，则z=3x+y的最大值是多 少？ 【解析】如图，可行域与例题相同. 把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为 -3，在y轴上截距为z的一组平行直 线，由图可知，当直线z=3x+y过可 行域上B点时，截距最大，易知B（20，0）. zmax=320+0=60.,【变式训练】设z=2x+y，变量x、y满
3、足条件 求z的最大值和最小值. 【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图 所示.把z=2x+y变形为y=-2x+z，则得到斜率为-2，在y轴上 的截距为z,且随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当 直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B,时，截距z最小.解方程组 得A点坐标为 （5，2），解方程组 得B点坐标为（1，1）， zmax=25+2=12,zmin=21+1=3.,求非线性目标函数的最值 非线性目标函数的最值的求法 （1）对于形如z=（x-a）2+（y-b）2型的目标函数均可化 为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方的 最值问题. （2
4、）对形如z= （ac0）型的目标函数，可先变形为 z= 的形式，将问题转化为可行域内的点 （x,y）与点（ ）连线斜率的 倍的范围、最值等.,【名师指津】,【特别提醒】解题中要注意斜率不存在的情况.,【例2】已知 求： （1）z=x2+y2-10y+25的最小值； （2）z= 的范围. 【审题指导】审题时，要把z=x2+y2-10y+25化为z=x2+ （y-5）2;把z= 化为z=2 联系其几何意义，思路就清晰了.,【规范解答】作出可行域，如图所示. A（1，3），B（3，1），C（7，9）. （1）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x,y）到点 M（0,5）的距离的平方，过M作AC
5、的垂线，易知垂足在AC 上，故MN=,MN2= 故z的最小值为 （2） 表示可行域内点（x,y）与定点Q（-1， ）连线斜率的2倍， KQA= KQB= z的范围是 .,【变式训练】已知 求（x+1）2+（y+1）2的 最大值、最小值. 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由 得 A（1，3）； 由 得B（3，4）； 由 得C（2，1）.,设d=（x+1）2+（y+1）2，则它表示可行域内的点到点（-1, -1）的距离的平方，以点（-1，-1）为圆心， 为半径画 圆，当圆经过点B时，d最大；当圆经过点C时，d最小. 所以当x=3,y=4时，dmax=（3+1）2+（4+1）2=41;
6、当x=2,y=1 时，dmin=（2+1）2+（1+1）2=13, 即（x+1）2+（y+1）2的最大值为41，最小值为13. 【误区警示】此题易出现 与 的错误，原因是漏掉了平方.,已知目标函数的最值求参数 求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问 题. 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时 要搞清目标函数的几何意义. 【特别提醒】解题时要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.,【名师指津】,【例3】若实数x,y满足 且x2+y2的最大值为 34，求正实数a的值. 【审题指导】此题的关键是找到取得最大值的点，然后确定a的值即
7、可. 【规范解答】在平面直角坐标系中 画出约束条件所表示的可行域如图 （形状不定）,其中直线ax-y-a=0的位置不确定，但它经过定点A（1，0）， 斜率为a. 又由于x2+y2= 且x2+y2的最大值等于34，所以可行 域中的点与原点距离的最大值等于,解方程组 得M的坐标为（ ）, 解方程组 得P的坐标为( +1,3) 又OM= 点P（ +1,3）到原点距离最大 （ +1）2+9=34，又a0，故解得a=,【变式训练】已知变量x,y满足约束条件 若目标 函数z=ax+y(其中a0)仅在点（3，0）处取得最大值，则a的 取值范围为_. 【解题提示】目标函数可化为y=-ax+z,可看作斜率为-a
8、,在y轴上的截距为z的直线，为使目标函数仅在点（3，0）处取得最大值，可分析斜率-a的取值范围进而求a的范围.,【解析】由约束条件画出可行域如图所示. 要使z仅在点（3，0）处取最大值， 则y=-ax+z的斜率-a应满 足-a 所以a 答案：a,简单线性规划整数解问题 整点坐标的求法 求不等式组表示的平面区域内的整点坐标,常有两种方法: (1)先确定区域内横坐标的取值范围,确定x的所有整数值;通过x的值再确定相应y的整数值; (2)画出网格求整点,关键是作图要准确.,【名师指津】,【例】设z=600x+300y，变量x,y满足约束条件 且x,y为整数，求z的最大值. 【审题指导】该题可行解（x
9、,y）是不等式组确定的平面区域内的整点.,【规范解答】如图，可行域为四边形 AOBC内的区域，由题意得A（0，126）， B（100，0）. 由方程组 C点坐标为（ ）.,因为题设要求整点（x，y）使z=600x+300y取得最大值， 又整点（69,91）,（70,90）都在可行域内， 将两点坐标代入z=600x+300y可知当 时，z取得最大值. 即zmax=60070+30090=69 000.,【变式备选】设变量x,y满足条件 求S=5x+4y的 最大值. 【解析】依约束条件画出可行域如图所示，若暂不考虑 x,y为正整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A（ ） 时， S=5x+4y取最
10、大值，Smax= x,y为正整数，当直线5x+4y= S平行移动时，从点A起第一个通过 的可行域内的整点是（2，2），此 时Smax=18.,【典例】（12分）已知1x+y5,-1x-y3，求2x-3y的取值范围. 【审题指导】本题考查线性规划应用问题.把1x+y5, -1x-y3看作变量x,y满足的线性约束条件，把求2x-3y的取值范围看作求z=2x-3y的取值范围，就成了一个线性规划问题.,【规范解答】作出二元一次不等式组 所表示 的平面区域（如图）即为可行域. 2分 设z=2x-3y，变形得 则得到斜率为 且随z变化的一组平行直线. 是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最 小，
11、当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目 标函数z=2x-3y取得最小值. 4分,由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小. 解方程组 得A的坐标为（2，3）， zmin=2x-3y=22-33=-5. 7分 当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大. 解方程组 得B的坐标为（2，-1）.,zmax=2x-3y=22-3（-1）=7. 10分 -52x-3y7, 即2x-3y的取值范围是-5,7. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2 x-y2.若目标函数z=ax
12、+y（a0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为_.,【解析】由约束条件画出可 行域（如图所示），为矩形 ABCD（包括边界），点C的 坐标为（3，1），平移y= -ax,当直线在y轴上的截距最 大时，z取最大值. -a-1, a1. 答案：（1,+）,1.z=x-y在 的线性约束条件下，取得最大值的 可行解为（ ） （A）（0，1） （B）（-1，-1） （C）（1，0） （D）（ ） 【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0,y=1 时，z=-1;当x=-1,y=-1时，z=0;当x=1,y=0时，z=1;当 x= y= 时，z=0，排除选项A，B，D，故选C.,2.若
13、实数x,y满足不等式组 则3x+4y的最小值 是( ) (A)13 (B)15 (C)20 (D)28 【解析】选A.可行域如图阴影部 分所示，令z=3x+4y,联立 解之得 当z=3x+4y过点(3,1)时，有最 小值13.故选A.,3.设x,y满足 则z=x+y（ ） （A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最大值，也无最小值 【解析】选B.作出可行域如图所示， 作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点 A（2，0）时，z有最小值2，无最大 值，故选B.,4.若实数x,y满足 则 的取值范围是（ ） （A）（0，1） （B）（0，1
14、 （C）（1，+） （D）1,+) 【解析】选C.实数x,y满足 的相关区域如图所示的阴影部分， 表 示阴影部分内的任意一点与坐标原点 （0，0）连线的斜率，由图可知， 的范围为（1，+）,故选C.,5.若x,y满足 则z=2x-10y的最大值等于_. 【解析】画出可行域，找出最优解，求出最大值，当直线 2x-10y=t（t为参数）过原点（0，0）时，zmax=20-100=0. 答案：0,6.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=y-ax 仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为_.,【解析】画出可行域，如图所示. 由z=y-ax，得y=ax+z，则z为直 线y=ax+z在y轴上的截距，由于 函数z=y-ax仅在点（5，3）处取 得最小值，直线y=ax+z过点P（5，3）时截距最小，所以直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率，所以a1. 答案：（1,+）,7.已知x,y满足约束条件 求z=x+2y的最小值. 【解析】作出不等式组 的可行域，如图所示. 画出直线l0:x+2y=0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都 在l的不包含直线l0的另外一侧， 该点到直线l0的距离最小，则这 一点使z=x+2y取最小值.,显然，点A满足上述条件， 解 得点A（ ）， zmin=,
