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1、2.2 矩阵的运算,一、矩阵的线性运算 二、矩阵的乘法 三、方阵的幂与矩阵多项式 四、矩阵的转置运算,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法,定义1: 若,则 A与B的和记作AB，规定:,加法举例,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法,2.负矩阵,例1,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法 定义 设 ，称矩阵 为A的负矩阵，记为A.,矩阵的减法,例2,设,则,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法 定义2 设 ，则规定,矩阵减法举例,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法 定义2 设 ，则规定,矩阵加法的运算律,例3 若,则,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法 设A，B，C
2、为同型矩阵，则有如下运算规律,矩阵的数量乘法,（1）交换律 （2）结合律 （3） （4）,其中 为零矩阵,一、矩阵的线性运算,2.矩阵的数量乘法 定义3 设 ，k是一个常数，矩阵 称为数k与矩阵A的数量乘法，记为kA.,例 若,加法与数量乘法的两个注记,一、矩阵的线性运算,1.矩阵的加法、减法 2.矩阵的数量乘法,【注】1.只有两个同型矩阵才可进行和的运算；两个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵. 【注】2.矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘，而这一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同.,数量乘积运算规律,一、矩阵的线性运算,（1）,（2）,（3）,（4）,- 矩阵的加法、减法与数乘矩
3、阵这三种运算结合起来， 称为矩阵的线性运算,二、 矩阵的乘法,二、矩阵的乘法,定义4 设 ， ，当 时，可定义一个新的矩阵 其中， 是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列的元素对应乘积之和，即 那么，称 为矩阵A与矩阵B的积，记为AB（或AB）.,左右矩阵,二、矩阵的乘法,定义4 设 ， ，当 时，可定义一个新的矩阵 其中， 是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列的元素对应乘积之和，即 那么，称 为矩阵A与矩阵B的积，记为AB.,A:左矩阵,B:右矩阵,二、矩阵的乘法,ABC,乘法举例,二、矩阵的乘法,例4 已知 ， ，求AB和BA.,计算BA,二、矩阵的乘法,例4 已知 ， ，求AB和BA.,例
4、5,二、矩阵的乘法,矩阵表示,销售量（单位：件）,成本价格和销售价格（单位：元）,例5 某公司有甲、乙、丙三种产品，在2007年和2008年的销售量、成本价格和销售价格如下：,二、矩阵的乘法,例5 某公司有甲、乙、丙三种产品，在2007年和2008年的销售量、成本价格和销售价格如下：,矩阵乘积,销售量（单位：件）,成本价格和销售价格（单位：元）,二、矩阵的乘法,例5 某公司有甲、乙、丙三种产品，在2007年和2008年的销售量、成本价格和销售价格如下：,矩阵乘积的解释,销售量（单位：件）,成本价格和销售价格（单位：元）,成本总额 销售总额,二、矩阵的乘法,例5 某公司有甲、乙、丙三种产品，在2
5、007年和2008年的销售量、成本价格和销售价格如下：,矩阵乘积的解释,销售量（单位：件）,成本价格和销售价格（单位：元）,成本总额 销售总额,即：2007年成本总额和销售总额为43000元和51000元.,二、矩阵的乘法,例5 某公司有甲、乙、丙三种产品，在2007年和2008年的销售量、成本价格和销售价格如下：,矩阵乘法基本性质,销售量（单位：件）,成本价格和销售价格（单位：元）,成本总额 销售总额,即：2008年成本总额和销售总额为53000元和62000元.,二、矩阵的乘法,例6,（1）左分配律,右分配律,（2）结合律,（3）,（4）,（5）,其中k为常数,二、矩阵的乘法,例6 求下列
6、矩阵的乘积AB与BA，并判定是否相等？,例6答案,1.,2.,3.,二、矩阵的乘法,例6 求下列矩阵的乘积AB与BA，并判定是否相等？,例6答案,无意义,1.,2.,3.,二、矩阵的乘法,例6 求下列矩阵的乘积AB与BA，并判定是否相等？,例6答案,1.,2.,3.,二、矩阵的乘法,例6 求下列矩阵的乘积AB与BA，并判定是否相等？,乘法注记,1.,2.,3.,二、矩阵的乘法,【注】1.矩阵乘法的性质（4）说明单位矩阵有类似自然数“1”的性质；性质（5）说明零矩阵有类似“0”的性质,乘法注记(2),二、矩阵的乘法,【注】1.矩阵乘法的性质（4）说明单位矩阵有类似自然数“1”的性质；性质（5）说
7、明零矩阵有类似“0”的性质 2.矩阵的乘法运算性质大多与数的乘法运算性质一致，但也有一些例外：,三、方阵的幂,1.不满足交换律 2.存在零因子 3.不适合消去律,三、方阵的幂与矩阵多项式,若设A 是一个n阶方阵，m个A连乘称为A的m次幂，记为 ，即,【规定】,幂运算规律,三、方阵的幂与矩阵多项式,若设A 是一个n阶方阵，m个A连乘称为A的m次幂，记为 ，即,【规定】,方阵多项式,（1） （2）,三、方阵的幂与矩阵多项式,定义5 设m次多项式 ， A为n阶方阵，则 称为方阵A的m次多项式.,举例解答,例7 设,三、方阵的幂与矩阵多项式,定义5 设m次多项式 ， A为n阶方阵，则 称为方阵A的m次
8、多项式.,运算规律不适用,例7 设,解,三、方阵的幂与矩阵多项式,【注】因为乘法不满足交换律，所以： 但：,四、矩阵的转置运算,四、矩阵的转置运算,1.矩阵的转置 定义6 一个 mn 矩阵 互换行列元素的位置后，得到的新的 nm 矩阵 称为矩阵A的转置，记为 或 .,转置的举例,四、矩阵的转置运算,1.矩阵的转置 定义6 一个 mn 矩阵 互换行列元素的位置后，得到的新的 nm 矩阵 称为矩阵A的转置，记为 或 .,转置具有 的性质,四、矩阵的转置运算,1.矩阵的转置 转置运算具有的性质,例8,-穿脱原理,四、矩阵的转置运算,例8 设矩阵 求,方法1,四、矩阵的转置运算,例8 设矩阵 求,方法
9、2,解 方法1，先求AB，再求,，所以,因为,四、矩阵的转置运算,例8 设矩阵 求,方法2,解 方法2，利用 先分别求出 ， 再求,四、矩阵的转置运算,例8 设矩阵 求,2.对称阵与反对称阵,解 方法2，利用 先分别求出 ， 再求,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是对称矩阵，简称对称阵.,对称阵举例,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是对称矩阵，简称对称阵.,对称阵 等价定义,主对角线,A的所有元素以主对角线为对称轴对应相等,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是
10、对称矩阵，简称对称阵. 定义7设 为n阶方阵，若 则称A为对称矩阵.,反对称阵,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是对称矩阵，简称对称阵. 定义8 对于矩阵A，若满足 则称A是反对称矩阵，简称反对称阵.,反对称阵 的等价定义,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义8 对于矩阵A，若满足 则称A是反对称矩阵，简称反对称阵. 定义8设 为n阶方阵，若 则称A为反对称矩阵.,正反对称阵举例,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是对称矩阵，简称对称阵. 定义8 对于矩阵A，若满足 则称A是反对称矩阵，简称反对称阵.,反对称矩阵的主对角线,四、矩阵的转置运算,2. 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵A，若满足 则称A是对称矩阵，简称对称阵. 定义8 对于矩阵A，若满足 则称A是反对称矩阵，简称反对称阵.,例9,反对称矩阵主对角线上元素全为零,主对角线,四、矩阵的转置运算,例9 设A是对称矩阵，证明： 也是对称矩阵.,例9解答,四、矩阵的转置运算,例9 设A是对称矩阵，证明： 也是对称矩阵.,作业,证,由于 用转置的运算律得 即 是对称矩阵.,本节课后可以完成的作业,P39（习题二） 一、填空题 3，4 二、选择题 3，9 三、计算与证明题 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12，13,
