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1、1.3 行列式的性质与计算,一、行列式的性质 二、行列式按行（列）展开 1.余子式和代数余子式 2.行列式按行（列）展开法则 三、行列式的计算方法,一、行列式的性质,按照定义计算行列式,=,1.一共有 n！项； 2.每一项是 n 个元素的乘积,转置行列式,一、行列式的性质,定义 将行列式D的行、列互换得到的新的行列式，称为原行列式的转置DT（D）,D,D,T,转置行列式练习题,一、行列式的性质,练习 已知 试求,答案,一、行列式的性质,练习 已知 试求,性质1,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即DDT。,性质2,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等
2、,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。,推论1,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。,性质3,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,推论2,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即
3、DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 行列式中某一行（列）所有元素全为0时，行列式的值为0。,性质4,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 行列式中某一行（列）所有元素全为0时，行列式的值为0。 性质4
4、如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零。,性质5,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 行列式中某一行（列）所有元素全为0时，行列式的值为0。 性质4 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零。 性质5 如果行列式的某一行（列）元素都是两个数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。,性质6,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的
5、转置行列式的值相等,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 行列式中某一行（列）所有元素全为0时，行列式的值为0。 性质4 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零。 性质5 如果行列式的某一行（列）元素都是两个数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。 性质6 把行列式某一行（列）的元素同乘以数 k ，加到另一行（列）上去，行列式的值不变。,两个注,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等
6、,即DDT。 性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 性质3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 行列式中某一行（列）所有元素全为0时，行列式的值为0。 性质4 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零。 性质5 如果行列式的某一行（列）元素都是两个数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。 性质6 把行列式某一行（列）的元素同乘以数 k ，加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 【注】1.上述性质中有三个性质是行列式等于0的充分条件，但不是必要条件。 2.使用
7、性质2，3，6计算行列式的方法称为消元法。,例1 计算 4阶行列式,一、行列式的性质,解答,例1 计算行列式,一、行列式的性质,解答,例1 计算行列式,解,40,一、行列式的性质,二、行列式按行（列）展开,例1 计算行列式,解,40,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式,整理变形,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式,写出二阶行列式,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式,保留行列式,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式,余子式定义,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式 定义 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列去掉，留下的
8、元素按原来的相对位置排成的 n-1 阶行列式，称为元素的余子式，记作Mij。,代数余子式定义,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式 定义 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列去掉，留下的元素按原来的相对位置排成的 n-1 阶行列式，称为元素的余子式，记作Mij。 定义 对Mij冠以符号，记作Aij，即 Aij（-1）i+jMij，则称为元素aij的代数余子式.,例子,二、行列式按行（列）展开,1.余子式和代数余子式 定义 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列去掉，留下的元素按原来的相对位置排成的 n-1 阶行列式，称为元素的余子式，记作Mij。 定义 对Mi
9、j冠以符号，记作Aij，即 Aij（-1）i+jMij，则称为元素aij的代数余子式.,2.行列式展开的法则,则,二、行列式按行（列）展开,2.行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和，即,或,造0降阶法,行列式按行（列）展开法则,二、行列式按行（列）展开,2.行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和，即,或,例2,【注】 利用行列式按行（列）展开法则计算行列式时，通常是把它与行列式的消元法结合使用. 先将行列式的某一行或列中除一元素外的其它元素化为0，然后再展开，这样便可以将行
10、列式降为低一阶的行列式的计算此方法叫做造0降阶法.,二、行列式按行（列）展开,2.行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和，即,解的过程,例2 计算行列式,解,二、行列式按行（列）展开,2.行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和，即,三、行列式的计算方法,例2 计算行列式,解,三、行列式的计算方法,1.定义法,2.化三角形,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法,3.降阶法,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法 3.降阶法（造0降阶法）,4
11、.观察法,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法 3.降阶法（造0降阶法） 4.观察法,例3,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法 3.降阶法（造0降阶法） 4.观察法,例3,例3 计算5阶行列式,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法 3.降阶法（造0降阶法） 4.观察法,求解过程,例3 计算5阶行列式,=,=,=,.,三、行列式的计算方法,1.定义法 2.化上（下）三角形法 3.降阶法（造0降阶法） 4.观察法,例4,例3 计算5阶行列式,=,=,=,.,三、行列式的计算方法,4.观察法,例4求解过程,例4 计算5阶行列式,.,=(-1),-23！,-12.,三、行列式的计算方法,4.观察法,例4 计算5阶行列式,.,=(-1),-23！,-12.,作业,本节课后可以完成的作业,P18（习题一） 一、填空题 6，7 二、选择题 6，7 三、计算与证明题 1（2，3，4，5，6），2（1，2，3，5）,
