《2015-2016北邮概率论与随机过程期末.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016北邮概率论与随机过程期末.pdf（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京邮电大学北京邮电大学 20201 15 520201 16 6 学年第学年第 2 2 学期学期 3 学时概率论与随机过程期末考试试题（B） 考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效 一、一、 填空题（填空题（45 分，每空分，每空 3 分）分） 1. 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从 袋 中 各 取 一 球 , 取 后 不 放 回 , 则 第 二 个 人 取 得 黄 球 的 概 率 是 _.2/5 2. 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不
2、发生的概率为,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,则=_.1/3 3. 若随机变量在（0,5）上服从均匀分布,则方程有实根的概率 是_. 3/5 4. 设 X 是连续型随机变量，其分布函数 F(x)严格单调，则随机变量 Y=2F(X)的 分布函数()= . 0, 0， 则自协方差函数CX(s,t) = 2min *s,t+ 12. 设 ( ),0N t t 服 从 强 度 为的 泊 松 过 程 ， 则 *(7) = 9|(3) = 4+ = (4)5e4/5! 13. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链 n X的状态空间是*1,2,4+,平稳分布为 = *2 3 , 1
3、 6 , 1 6+ , 若P(X0= 1) = 2 3 ,P(X0= 2) = 1 6 ,P(X0= 4) = 1 6 , 则 方 差 ()= 11/9 14. 设 ),(ttX 为平稳随机过程，功率谱密度为 2 1 2 )( X S , 则其平均功 率为 1 二、二、 （15 分）分） 设随机变量 X 的概率分布密度为 () = 1 2 |, 0，所以* + *| + *| +， 因 此 * ,| + * + *| +，所以 X 与|X|不独立 （15 分） 三、 （三、 （15 分）分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为* = + = 1 3 ( = 1,0,1)，Y
4、的概率密度为() = 0 1 0 其它, 记 Z=X+Y, (1) 求常数 a 的值 （3 分） (2) 求* 1 2 | = 0+. （5 分） (3) 求 Z 的概率密度. （7 分） 解：解：(1) () = = 1 0 1 + ，解得：a=1 （3 分） (2) 1 2 | = 0 = + 1 2 | = 0 = 1 2 | = 0 = * 1 2+ = 1 2 （8 分） (3)() = * + = * + + =* + , = 1+ + * + , = 0+ + * + , = 1+ = * + 1, = 1+ + * , = 0+ + * 1, = 1+ = * + 1+* =
5、1+ + * +* = 0+ + * 1+* = 1+ =1 3 ,( + 1) + () + ( 1)- （11 分） () = (z) （12 分） =1 3 ,( + 1) + () + ( 1)-= 1 3 , 1 2 0, 其它 （15 分） 四、 （四、 （15 分）分） 设齐次马氏链0,nXn的状态空间为3 , 2 , 1E， 状态转移概率矩阵为 = 1 2 1 2 0 1 3 0 2 3 0 1 4 3 4 初始分布PX0=1=1, PX0=i=0, i=2,3 (1) 证明马氏链0,nXn具有遍历性，并求其极限分布 （8 分） (2) 求*(1) = 1,(3) = 3+;
6、（7 分） 解(1) 2= 5 12 1 4 1 3 1 6 1 3 1 2 1 12 3 16 35 48 （3 分） 因为 2 P中所有元素均为正数，且马氏链的状态是有限个，所以遍历。 极限分布满足如下方程组： 1= 1 2 1+ 1 3 2 2= 1 2 1+ 1 4 3 3= 2 3 2+ 3 4 3 1+ 2+ 3= 1 （6 分） 解得：1= 2 13 ，2= 3 13 ，3= 8 13 （8 分） （2）*(1) = 1,(3) = 3+ = *(3) = 3|(1) = 1+*(1) = 1+ =13(2)*(1) = 1+ （11 分） 1= 0 = (1 2 , 1 2 ,0)， （14 分） 上式=1 3 1 2 = 1 6 （15 分） 五、五、 （10 分）分） 设() = sin()， ，这里为(0,2)上均匀分布的随机变量。 证明：()是宽平稳随机过程 解：,()- = sin () 1 2 2 0 = 0 （4 分） 自相关函数RX(n,n + ) = E,X(n)X(n + )- = sin ()sin ,( + )- 1 2 2 0 = *cos() + cos ,(2 + )-+ 1 2 2 0 = cos() 1 2 2 0 =sin (2) 2 （9 分） 均值函数为常数，自相关函数只与有关，所以是平稳随机过程 （10 分）
