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1、第七章 窄带随机过程,主要内容,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.2 窄带随机过程表示,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,准备知识,1 单边谱信号对应的时域是？,2 从实信号中分解出单边谱信号,3 从实信号到解析信号,1 单边谱信号对应的时域是？,实信号的频谱包含有正负频率成分双边谱,单边谱信号的时域复信号,2 从实信号中分解出单边谱信号,为具有单边谱的解析信号,其频谱为:,3 从实信号到解析信号,7.1 希尔伯特变换和解析过程,设有一个实值函数,，它的希尔伯特变换记作,（或记作,）,7.1.1 希尔伯特变换,7.1 希尔伯特变换和解析过
2、程,希尔伯特变换的单位冲激响应及其传递函数,证明：由对称性性质：若,，则,因为,，所以,整理得：,7.1 希尔伯特变换和解析过程,希尔伯特逆变换,为希尔伯特逆变换的单位冲激响应,7.1 希尔伯特变换和解析过程,证明： 若输入信号为,通过一个滤波器,输出为,显然有：,所以,反变换,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.1 希尔伯特变换,希尔伯特变换相当于一个正交滤波器,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,定义：给定任一实随机过程,定义一复随机过程,的希尔伯特变换,是,为实随机过程,的复解析过程，简称解析过程。,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性
3、质,（1）若,为实平稳随机过程，则,也是实平稳过程，且联合平稳。,因为希尔伯特变换是线性变换， 线性系统输入为平稳过程， 输出也为平稳过程，且联合平稳。,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,（1）若,为实平稳随机过程，则,也是实平稳过程，且联合平稳。,（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,经付氏反变换，得：,7.1 希尔伯特变换和解析过程,3.5.2 解析过程及其性质,（1）若,为实平稳随机过程，则,也是实平稳过程，且联合平稳。,（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,（3）,证明,代入,令,7.1 希尔伯特变换和解析过程,3.5.2 解析过
4、程及其性质,（1）若,为实平稳随机过程，则,也是实平稳过程，且联合平稳。,（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,（3）,证明,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,（1）若,为实平稳随机过程，则,也是实平稳过程，且联合平稳。,（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,（3）,（4）,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,（5）,证明：,=,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,（5）,（6）,（7）,7.1 希尔伯特变换和解析过程,3.5.2 解析过程及其性质,（5）,（6）,（7）,（8）,证明：
5、由性质3，,=,两边取付氏变换得,7.1 希尔伯特变换和解析过程,7.1.2 解析过程及其性质,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,证明：由性质7，,两边取付氏变换,7.2 窄带随机过程表示,7.2.1 窄带随机过程,定义：若,的功率谱密度满足,且,，称,为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程,7.2 窄带随机过程表示,7.2.1 窄带随机过程,7.2 窄带随机过程表示,7.2.1 窄带随机过程,7.2 窄带随机过程表示,7.2.2 窄带随机过程的表达式,包络,相位,中心频率,7.2 窄带随机过程表示,7.2.2 窄带随机过程的表达式,包络,相位,中心频率,莱斯表达式,7.2 窄带随机过程表
6、示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,为平稳过程，且假设其均值为0。,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,证明：因为,和,都是实过程。,由,都是实随机过程,所以,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：因为由假设，,所以，,因此，,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是平稳
7、随机过程，且联合平稳,证明：,+,+,+,因为：,，所以,它与t无关,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：由性质3，当,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：,+,+,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：由性质5，,7
8、.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：,+,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,都是实随机过程,都是平稳随机过程，且联合平稳,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：由性质3，有,两边取付氏变换，注意,=,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,证明：,7.2 窄带随机过程表示,7.2.3 莱斯表达式的性质,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,工程上应用最多的窄带随机过程是窄带高斯过程，因为不仅热噪 声是高斯过程
9、，很多宽带噪声通过窄带系统后也成为窄带高斯过 程。因此，重点讨论窄带高斯过程是很有必要的，当接收机中放 输出的窄带随机过程经过检波器或鉴频器进行非线性处理时，先 分析窄带过程的包络或相位的统计特性，可使问题大为简化。,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7.3.1 窄带随机过程包络与相位的慢变化特性,定理：当,为窄带随机过程，即,的功率谱带宽,是慢变换的随机过程。,和,，,证明：,因为,是低频限带随机过程，,即它们的功率谱只在,区间内非0，且,则,=,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,证明：,此式说明：若,，在t到,的时间内，,的变化的均方值远小于,的均方值。,因为,，即,，令,由切比雪
10、夫不等式：,令,，注意,带入上式，得：,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,证明：,即,，即,足够小时，对于给定的,右式趋近于0。这就是说，,为窄带随机过程时，在一个高频周期,内，,的变化大于,的概率趋于0。也就是说，,为慢变换的随机过程，同理，,也为慢变化随机过程，则包络,，相位,也是慢变化的随机过程。,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7.3.2 包络和相位的一维概率密度,假设窄带高斯实随机过程,的均值为0，方差为,表示成莱斯表示式,令t固定，,边沿概率密度,二维r.v.函数的概率密度变换,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7.3.2 包络和相位的一维概率密度,7.3 窄带随机过
11、程包络和相位的特性,7. 3.2 包络和相位的一维概率密度,利用二维随机变量函数的概率密度变换有：,式中J为雅可比行列式，有,=,=,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7. 3.2 包络和相位的一维概率密度,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,3.7.3 窄带高斯随机过程包络平方的概率密度,已经推导出,=,概率密度为指数函数,7.3 窄带随机过程包络和相位的特性,7. 3.4 窄带高斯随机过程包络与相位的二维概率密度函数,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,假设,式中a、,为已知常数；,均匀分布的随机变量,平稳
12、窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差,功率谱密度对称于,表示成莱斯表示式,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,令,于是，,低频限带随机过程,同样,准正弦振荡,慢变化随机过程,概率密度函数?,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,先把,固定，再把t固定，得到随机变量,1、求条件二维联合概率密度函数,互相独立的高斯变量,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,2、由随机变量的函数的概率分布求,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,3.由边沿分布求,的条件概率密度为,因此正弦型信号加窄带高斯噪声包络的一维概率密度为,7.4 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性,7.4.1 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数,3.由边沿分布求,
