随机过程第通信原理课件3章随机过程

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1、学习目标： 随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、相关函数与功率谱密度的关系; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声; 随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性； 正弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性。,第 3 章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念和统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正

2、弦波加窄带高斯噪声,第 3 章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念和统计特性 3.1.1 随机过程,其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。 其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。,通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。,确定性过程： 随机过程：,随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 3- 1 所示。 ,图 3- 1样本函数

3、的总体,随机过程 具有两个基本特征： 是时间t的函数； 在某一观察时刻t1，样本的取值 是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,3.1.2 随机过程的统计特性 随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字特征来描述。,随机过程的一维分布函数记作： 如果分布函数对 的偏导存在，有 为随机过程的一维概率密度函数。一维分布函数或者一维概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性。,(3.1 - 1),(3.1 - 2),二维分布函数：,(3.1 - 3),二维概率密度函数：,(3.1 - 4),3.1.3 随机过

4、程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望（均值）,(3.1 - 6),2. 方差,(3.1 - 7),可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。,3. 相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。,相关函数：,协方差函数：,(3.1 - 8),(3.1 - 9),(3.1 - 10),(3

5、.1 - 11),(3.1 - 12),3.2 平稳随机过程,3.2.1 定义 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。,(3.2 - 1),则称 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,(3.2 - 2),(3.2 - 3),均值,(3.2 - 4),自相关函数,(3.2 - 5),即,设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。,注意：通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。,3.2.2 各态历经性 x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,(3.2 - 6),如果

6、平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性。 ,(3.2 - 7),“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 ,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。 ,3.2.3 平稳随机过程自相关函数的性质 设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数

7、,当均值为0时，有 。,(3.2 - 8),具有下列主要性质： ,(3.2 - 9),（1）, 的平均功率,(3.2 - 10),（2）, 的直流功率,(3.2 - 11),（3）, 的偶函数,(3.2 - 12),（4）, 的上界,(3.2 - 13),（5）,方差， 的交流功率,3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为,(3.2 14),我们可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（3.2 - 14）来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是

8、不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即,图 3-2 功率信号f(t)及其截短函数,的平均功率S则可表示成,确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即,(3.2 15),(3.2 16),(3.2 18),于是,因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此， 必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。,(3.2 17),简记为,关系式（3.2 - 18）称为维纳-辛钦关系。 根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不难推演功率谱密度P()有

9、如下性质： ,因此，可定义单边谱密度 为,例21 某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数，是在(0, )内均匀分布的随机变量。 （1） 求 的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论 是否具有各态历经性。 ,(3.2 - 20),（1）,非负性,(3.2 - 21),（2）,偶函数,(3.2 - 22),解：(1) 先考察(t)是否广义平稳。 的数学期望为,的自相关函数为,根据,以及,因为 数学期望为常数，自相关函数只与 有关，所以， 是广义平稳。,则功率谱密度为,(2) 现在来求 的时间平均。 根据式（3.2 - 6）可得,比较统计平均与时间平均，得 ， 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,平

10、均功率为,3.3 高斯随机过程,3.3.1 定义 若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。,(3.3 - 1),3.3.2 重要性质 由式(3.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有jk

11、有bjk=0，这时式（3.3 - 1）变为,也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的。 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。,(3.3 - 2),由式（3.3 - 3）和图3 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2) ,且有,(3.3 - 3),图3-3 正态分布的概率密度,(3.3 - 4),(3.3 - 5),(3) a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还

12、要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数： ,(3.3 - 6),（1） 误差函数和互补误差函数,它是自变量的递增函数。有下列特性：,当 时 (实际应用中只要 )即可近似有,(3.3 - 7),互补误差函数,(3.3 - 8),它是自变量的递减函数。有下列特性：,误差函数,(3.3 - 9),（2）概率积分函数和Q函数,有 。,(3.3 - 10),概率积分函数,Q函数经常用于表示高斯尾部曲线下的面积。,Q函数,(3.3 - 11),比较式(3.3 8)与

13、式(3.3 10)和式(3.3 11)， 可得,(3.3 - 12),(3.3 - 13),(3.3 - 14),现在让我们把以上特殊函数与式（3.3 - 6）进行联系， 以表示正态分布函数F(x)。,(3.3 - 15),(3.3 - 16),用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。 ,这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,3.3.3 高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即,(3.3 - 17

14、),(3.3 - 18),这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图 3 - 4 画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。,如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由式（3.3 - 18）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,图 3 - 4 白噪声的功率谱和自相关函数,3.4 随机过程通过线性系统,我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况

15、。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,(3.4 - 1),(3.4 - 2),若,则有,若线性系统是物理可实现的，则,或,如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足式（3.4 - 4）的关系。这样，就整个过程而言，便有,(3.4 - 3),(3.4 - 4),(3.4 - 5),假定输入i(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输出过程o(t)的统计特性。,1. 输出过程o(t)的数学期望,对式（3.4 - 5）两边取统计平均，有,式中利用了平稳性假设 (常数)。,由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。,(3.4 - 6),根据平稳性,可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。 ,2. 输出过程o(t)的自相关函数,有,(3.4 -