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1、【2018 高三数学各地优质二模试题分项精品】 专题三 导数与应用 一、选择题一、选择题 1 【2018 全国统一考试高三二调】已知定义在 R 上的函数恒成立，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力， 以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解 不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质单调性与 奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2 【201
2、8 东莞高三二模】已知函数若不等式恒成立，则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相 切于点，因为，所以该切线方程为，因为 该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象， 得.故选 C. 3 【2018 贵州高三适应性考试】设函数 1 2 x f xexax，其中1a ，若存在唯一负整数 0 x，使 得 0 f xa，则实数a的取值范围是（ ） A. 2 53 , 32ee B. 3 ,1 2e C. 3 ,1 2e D. 2 53 , 32ee 【答案】D 直线 y=axa 恒过定点（1，0）且斜率为 a，
3、 故ag（0）=1 且 g（1）=3e1aa，g（2）= 2 5 2aa e 解得： 2 5 3e a 3 2e 故选：D 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 4 【2018 北京师范大学附中高三二模】设函数，若不等式有正实数解，则实 数 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 5 【2018 陕西咸阳高三二模】已知定义在
4、R上的函数 f x的导函数为 fx，且 1f xfx，设 21af， 31be f ，则a， b的大小关系为（ ） A. ab B. ab C. ab D. 无法确定 【答案】A 【解析】令 xx g xe f xe，则 10 xxx gxef xfxeef xfx. 即 g x在R上为增函数. 所以 32gg，即 3322 32e fee fe，整理得： 31 21e ff ，即ab. 故选 A. 点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： f xxfx，构造xf(x)； 2xf(x)+x2f(x)，构造x2f(x)； xfxf x ，构造 f x x ; fxf x ，构造 x f x e ；
5、 fxf x ，构造 x e f x.等等. 6 【2018 河南商丘高三二模】定义在 上的函数满足：，是的导函数， 则不等式 (其中 为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了 这个技巧，先构造函数 g(x)=,再分析函数 g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答. 7 【2018 重庆高三二诊】曲线250xyxy在点1,2A处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 为（ ） A. 9 B. 49 6 C. 9 2 D. 11 3 【答案】B 【解析】由250xyxy
6、，得 5 2 x yf x x ， 2 3 2 fx x ， 1 1 3 f ， 曲线在点1,2A处的切线方程为 1 21 3 yx 令0x ，得 7 3 y ；令0y 得7x 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 1749 7 236 S 选 B 8 【2018 东北三省四市高三一模】已知过曲线 x ye上一点 00 ,P xy作曲线的切线，若切线在y轴上的 截距小于 0 时，则 0 x的取值范围是（ ） A. 0, B. 1 , e C. 1, D. 2, 【答案】C 9 【2018 广东茂名高三二模】若对任意的0x ，不等式 2 2 ln10xm xm恒成立，则m的取值范围 是（ ） A
7、. 1 B. 1, C. 2, D. , e 【答案】A 【解析】由已知可得 2 2 ln10xm x 对任意的0x 恒成立， 设 2 2 ln1,f xxm x 则 2 2 2 2, xm m fxx xx 当0m 时 0fx在0,上恒成立， f x在0,上单调递增，又 10,f 在0,1上 0,f x 不合题意； 当0m 时，可知 f x在0,m单调递减，在,m 单调递增，要使 f x 0 在在0,上恒成立，只要 fm 0，令 ln1,0 ,ln ,g mfmmm mmgmm 可知 g m在0,1上单调递增， ，在在1,上单调递减，又 10,0,0,1.gg mg mm 故选 A. 10
8、【2018 安徽马鞍山高三质监二】已知函数在 上满足，当时， .若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题；构造函数 ，利用导数证得在上单调递增，且为奇函数，原不等式等价于 ，由此解得 的范围. 11 【2018 云南昆明高三二模】已知函数 ln x e f xkxx x ，若1x 是函数 f x的唯一极值点， 则实数k的取值范围是（ ） A. ,e B. ,e C. , e D. , e 【答案】A 【解析】由函数 ln x e f xkxx x ，可得 2 11 1 xxx e xexe
9、 fxk xxxx ， f x有 唯一极值点 1,0xfx 有唯一根1x ， 0 x e k x 无根，即yk与 x e g x x 无交点，可得 2 (1 x ex gx x ，由 0gx 得， g x在1上递增，由 0gx 得， g x在0,1上递减， min 1,g xgeke，即实数k的取值范围是,e，故选 A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据 题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化 成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中
10、，画出函数的 图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 ,yg xyh x的图象的交点个数问题，画出两个函 数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 ,ya yg x的交点个数的图象的交点个数 问题 . 12 【2018 陕西榆林高三二模】 设函数 232 1122 6,2312,f xxxm g xxxxm P xf xQ xg x ，若 12 5, 2 ,1,2xx ，使得直线PQ的斜率为 0，则m的最小值为（ ） A. -8 B. 5 2 C. -6 D. 2 【答案】C 当 x（，2）和（1，+）时，g（x）0，则 g（x）是递增函数 当 x（2，1）时，g（x）0，则 g
11、（x）是递减函数 x1，2 g（1）min=7m g（1）=13m，g（2）=4m g（x）值域 N：7mN13m 由题意，MN 则 75 139 mm mm ， 解得：2m6 m 的最小值为6 故选：C 点睛：考查曲线的斜率为 0 的理解和值域的关系利用导函数研究最值的问题和二次函数的最值的求法 13 【2018 新疆乌鲁木齐质监二】已知函数 f x与其导函数 fx的图象如图，则满足 fxf x的 x的取值范围为（ ） A. 0,4 B. ,0 , 1,4 C. 4 0, 3 D. 0,1 , 4, 【答案】D 二、填空题二、填空题 14 【2018 湖南衡阳高三二模】函数(1) x yaa
12、的图象与二次函数 2 yx的图象恰有两个不同的交点， 则实数a的值是_ 【答案】 2 e e 【解析】当 x0 时，函数(1) x yaa的图像与二次函数 2 yx的图象恰有一个交点， 设当 x0 时， (1) x yaa的图像与 2 yx相切于点 2 00 ,A x x， 因为 2 ()ln ,)2 . xx yaaa yxx（ 00 22 00000 ln2,ln2,ln2. xx aaxaxxaxxa 0 2 22 00000 ,ln2ln,2ln2,.ln2,. x e axxaxxxee aae 故填 2 e e. 点睛:解答与曲线切线有关的问题,如果不知道切点，一般都要设切点,再求
13、切线的方程. 再利用其它条件 转化求解.本题就是按照这种技巧解答的. 三、解答题三、解答题 15 【2018 湖南益阳高三 4 月调研】已知函数（， 为自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数 的最小值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e. 试题解析：（1）由题知，函数的定义域是. ， 当时，对任意恒成立， 所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，令，得； 令，得； 所以函数的单调递增区间是， 单调递减区间是. （2）当时，恒成立， 即为恒成立， 即为恒成立. 设， 则. 显然在区间上单调递增，且， 所以当时，；当时，； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以， 解得. 即实数的最小值是. 点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应 用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确 定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调 区间. 16 【2018 广东东莞高三二模】已知函数. ()求曲线在处的切线方程； ()设，若有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】().().
