《20一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第6章 第01节 数列的概念与简单表示法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第6章 第01节 数列的概念与简单表示法 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 考点高考试题考查内容核心素养 2016全国卷T1712 分由递推关系求通项 数列的概念 2014全国卷T165 分 由递推关系求首项 逻辑推理 命题分析 本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式或已知 Sn与 an 的关系求 Sn，三种题型均有可能出现，难度中低档. 1数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形 式可以写成 a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第 1 项 a1也称首项；an是 数列的第 n 项，也叫数列的通项. (2)
2、数列的分类 分类标准类型满足条件 有穷数列项数有限 项数 无穷数列项数无限 递增数列an1an 递减数列an1an 项与项间 的大小关系 常数列an1an 其中 nN (3)数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 anf(n)，那么 这个公式叫作这个数列的通项公式 2数列的递推公式 如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 an1(n2)(或前几项) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式 提醒： 1辨明两个易误点 (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且 还与这些
3、“数”的排列顺序有关 (2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数 列的项对应的位置序号 2数列的函数特性 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集 N或其子集上的函数，当自 变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列 3an与 Sn的关系：anError!Error! 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)an与an是不同的概念( ) (2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( ) (3)数列是一种特殊的函数( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个( ) (5)如果数列an的前
4、 n 项和为 Sn，则对nN，都有 an1Sn1Sn.( ) (6)若已知数列an的递推公式为 an1，且 a21，则可以写出数列an的任何 1 2an1 一项( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2(教材习题改编)设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为( ) A15B16 C49 D64 解析：选 A 当 n8 时，a8S8S7827215，故选 A 3下列可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是( ) Aan1 Ban 1n1 2 Can2 Dan |sin n 2| 1n13 2 解析：选 C 对于 A、B、D 选项，可令 n1,2,3,
5、4，逐一验证不符合，对于选项 C，由 an2，可得 a11，a22，a31，a42，. |sin n 2| 4(教材习题改编)已知数列an的通项公式为 ann23n28，则数列an的最小项 为_ 解析：ann23n28n23n 28 2 . 9 4 9 4 (n 3 2) 121 4 所以当 n1 或 n2 时，an取得最小值，(an)min30. 答案：30 5若数列an的通项公式为 an，那么这个数列是_数列(填“递增” n n1 或“递减”或“摆动”) 解析：方法一 令 f(x)，则 f(x)1在(0，)上是增函数，则数列an x x1 1 x1 是递增数列 方法二 因为 an1an0，
6、 n1 n2 n n1 1 n1n2 所以 an1an， 所以数列an是递增数列 答案：递增 由递推关系求通项公式 明技法 由数列递推式求通项公式的常用方法 提能力 【典例】 设数列an中，a12，an1ann1，则 an_. 解析：由条件知 an1ann1， 则 an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2 . n2n2 2 答案： n2n2 2 母题变式 1 若将“an1ann1”改为“an1an” ，如何求解？ n n1 解：an1an， n n1 an1 an n n1 ana1 2 . an an1 an1 an2 an2 an3 a3 a2 a2 a1
7、n1 n n2 n1 n3 n2 1 2 2 n 母题变式 2 若将“an1ann1”改为“an12an3” ，如何求解？ 解：设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)，即 an12ant，解得 t3. 故 an132(an3) 令 bnan3，则 b1a135，且2. bn1 bn an13 an3 所以bn是以 5 为首项，2 为公比的等比数列 所以 bn52n1，故 an52n13. 母题变式 3 若将“an1ann1”改为“an1” ，如何求解？ 2an an2 解：an1，a12，an0， ，即 ， 2an an2 1 an1 1 an 1 2 1 an1 1 a
8、n 1 2 又 a12，则 ， 1 a1 1 2 是以 为首项， 为公差的等差数列 1 an 1 2 1 2 (n1) ，an . 1 an 1 a1 1 2 n 2 2 n 刷好题 (金榜原创)在数列an中，a11，an12nan，求 an. 解：由于2n，故21，22，2n1， an1 an a2 a1 a3 a2 an an1 将这 n1 个等式叠乘， 得212(n1)2，故 an2. an a1 n(n - 1) 2 n(n - 1) 2 an与 Sn关系的应用 析考情 an与 Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在 解答题的已知条件中，难度相对小，属
9、中低档题 提能力 命题点 1：由 Sn求 an 【典例 1】 已知数列an中，Sn是其前 n 项和，若 Sn3n2n1，则 an_. 解析：因为当 n1 时，a1S16； 当 n2 时， anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12, 由于 a1不适合此式， 所以 anError!Error! 答案：Error!Error! 命题点 2：利用 an与 Sn的关系求 an 【典例 2】 (2015全国卷)设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1， 则 Sn_. 解析：因为 an1Sn1Sn，an1SnSn1， 所以 Sn1SnSnSn1. 因为 Sn0，所以1，
10、即1. 1 Sn 1 Sn1 1 Sn1 1 Sn 又1，所以是首项为1，公差为1 的等差数列 1 S1 1 Sn 所以1(n1)(1)n，所以 Sn . 1 Sn 1 n 答案： 1 n 悟技法 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用 n1(n2)替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出 当 n2 时 an的表达式 (3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写 刷好题 1若数列an的前 n 项和 Sn an ，则
11、an的通项公式 an_. 2 3 1 3 解析：由 Sn an ，得当 n2 时，Sn1 an1 ， 2 3 1 3 2 3 1 3 两式相减，得 an an an1，当 n2 时， 2 3 2 3 an2an1，即2. an an1 又 n1 时，S1a1 a1 ，a11， 2 3 1 3 an(2)n1. 答案：(2)n1 2已知数列an满足 a12a23a34a4nan3n22n1，求 an. 解：设 a12a23a34a4nanTn， 当 n1 时，a1T13122112， 当 n2 时， nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5， 因此 an， 6n5 n 显然当
12、n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 anError!Error! 数列的单调性及其应用 明技法 数列单调性的判定方法 (1)作差比较法：an1an0数列an是递增数列；an1an0数列an是递减数 列；an1an0数列an是常数列 (2)作商比较法：当 an0 时，则1数列an是递增数列；1数列an是 an1 an an1 an 递减数列；1数列an是常数列当 an0 时，则1数列an是递减数列； an1 an an1 an 1数列an是递增数列；1数列an是常数列 an1 an an1 an (3)结合相应函数的图像直观判断 提能力 【典例】 已知数列an的通项公式为 an，试判断此数
13、列是否有最大项？若 9nn1 10n 有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由 解：方法一 an1an， 9n1n2 10n1 9nn1 10n 9n 10n 8n 10 当 n8 时，an1an0，即 an1an； 当 n8 时，an1an0，即 an1an； 当 n8 时，an1an0，即 an1an. 则 a1a2a3a8a9a10a11，故数列an有最大项，为第 8 项和第 9 项， 且 a8a9. 98 9 108 99 108 方法二 设数列an的第 n 项最大，则Error!Error! 即Error!Error! 解得 8n9，又 nN，则 n8 或 n9.故数列an有最大项，为第 8 项和第 9 项， 且 a8a9. 99 108 刷好题 1已知an是递增数列，且对于任意的 nN，ann2n 恒成立，则实数 的取值 范围是_ 解析：方法一 (定义法)因为an是递增数列，所以对任意的 nN，都有 an1an， 即(n1)2(n1)n2n，整理，得 2n10，即 (2n1)(*) 因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需 3. 方法二 (函数法)设 f(n)ann2n，其图像的对称轴为直线 n ，要使数列an 2 为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数，故只需满足 f(1)f(2)，即 3. 答案：(3，) 2已知数列
