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1、课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知|a|6,|b|3,ab12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ) A4 B4 C2 D2 解析: ab|a|b|cosa,b18cosa,b12, cosa,b .a 在 b 方向上的投影是|a|cosa,b4. 2 3 答案:A 2(2018 届河南八市重点高中质检)已知平面向量 a,b 的夹角为,且 2 3 a(ab)8,|a|2,则|b|等于( ) A. B2 33 C3 D4 解析:因为 a(ab)8,所以 aaab8,即|a|2 |a|b|cosa,b8,所以 42|b| 8,解得|b|4. 1 2 答案:D 3已知平面向量 a
2、,b,|a|1,|b|,且|2ab|,则向量 a 与向量 37 ab 的夹角为( ) A. B. 2 3 C. D 6 解析:由题意,得|2ab|244ab37,所以 ab0,所以 a(ab) 1,且|ab|2,故 cosa,ab ,所以 ab2 aab |a|ab| 1 2 a,ab ,故选 B. 3 答案:B 4(2018 届辽宁抚顺一中月考)在ABC 中,C90,且 CACB3,点 M 满足2,则( ) BM MA CM CB A2 B3 C3 D6 解析:2, (), BM MA BM 2 3BA 2 3 CA CB ()3.故选 B. CM CB CB BM CB ( 1 3CB 2
3、 3CA )CB 1 3CB2 2 3CB CA 答案:B 5已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,向量 m(2cosC1,2),n(cosC,cosC1),若 mn,且 ab10,则ABC 周长的最小值为( ) A105 B105 33 C102 D102 33 解析:mn,mn0,即 2cos2CcosC2cosC20.整理得 2cos2C3cosC20,解得 cosC 或 cosC2(舍去)又 1 2 c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cosC) 1022ab100 21002575,c5 ,则ABC 的周长 (1 1 2) ( ab 2 ) 3
4、为 abc105.故选 B. 3 答案:B 6已知|a|1,|b|,ab(,1),则 ab 与 ab 的夹角为( ) 33 A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析:由 ab(,1)得|ab|2(ab)24,又|a|1,|b|,所以 33 |a|22ab|b|212ab34,解得 2ab0,所以|ab| |ab|2 2,设 ab 与 ab 的夹角为 ,则由夹角公式可得 cos |a|22ab|b|2 ,且 0,所以 ,即 ab 与 ab 的 abab |ab|ab| |a|2|b|2 2 2 1 2 2 3 夹角为 2 3 答案:C 7(2017 届山东师大附中模拟)如图,在圆 O
5、 中,若弦 AB3,弦 AC5,则的值等于( ) AO BC A8 B1 C1 D8 解析:取的中点 D,连接 OD,AD,则0 且,即 BC OD BC AO OD AD .而 (),所以 ( AO AD OD AD 1 2 AB AC AO BC AD BC OD BC AD BC 1 2 )() () (5232)8,故选 D. AB AC AC AB 1 2 AC2 AB2 1 2 答案:D 8(2018 届衡水调研)若非零向量 a,b 满足|a|b|,(2ab)b0,则 a 与 b 的夹角为_ 解析:(2ab)b0,2|a|b|cosb20. 由|a|b|,可得 cos ,120.
6、1 2 答案:120 9已知正方形 ABCD 的边长为 1 点,点 E 是 AB 边上的动点,则的 DE CB 值为_;的最大值为_ DE DC 解析:以 D 为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,则 D(0,0),A(1,0), B(1,1),C(0,1)设 E(1,a)(0a1),所以(1,a)(1,0) DE CB 1,(1,a)(0,1)a1.故 的最大值为 1. DE DC DE DC 答案:1 1 10已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61. (1)求 a 与 b 的夹角 ; (2)求|ab|和|ab|; (3)若a,b,作ABC,求ABC 的面积 AB AC 解:(
7、1)由(2a3b)(2ab)61, 得 4|a|24ab3|b|261. |a|4,|b|3,代入上式求得 ab6. cos . ab |a|b| 6 4 3 1 2 又 0,180,120. (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213, |ab|.同理,|ab|. 13a22abb237 (3)由(1)知BAC120, |a|4,|b|3, AB AC SABC |sinBAC 34sin1203. 1 2 AC AB 1 23 11已知 a,b 满足|a|2,|b|3,|ab|4,求|ab|. 解:由已知,|ab|4,|ab|242, a22abb216. |a
8、|2,|b|3,a2|a|24,b2|b|29, 代入式得 42ab916,即 2ab3, 又(ab)2a22abb243910,|ab|. 10 12在ABC 中,(2,3),(1,k),且ABC 为直角三角形,求实 AB AC 数 k 的值 解:当 A90时,0,213k0,k ; AB AC 2 3 当 B90时,0, AB BC (12,k3)(1,k3) BC AC AB 2(1)3(k3)0,k; 11 3 当 C90时,0, AC BC 1k(k3)0,k. 3 13 2 综上所述,k 或或. 2 3 11 3 3 13 2 能 力 提 升 1(2018 届辽阳质检)设 O 是A
9、BC 的外心(三角形外接圆的圆心)若 ,则BAC 的度数等于( ) AO 1 3AB 1 3AC A30 B45 C60 D90 解析:取 BC 的中点 D,连接 AD,则2, AB AC AD 又,即得 32, AO 1 3AB 1 3AC AO AD AD 为 BC 的中线且 O 为重心,又 O 为外心, ABC 为等边三角形,BAC60,故选 C. 答案:C 2(2017 届湖南十校联考)在ABC 中,点 M 是 BC 的中点,若A120, ,则|的最小值是( ) AB AC 1 2 AM A. B. 2 2 2 C. D. 3 2 1 2 解析:由已知得|cosA, AB AC AB
10、AC 所以 |cos120,则|1. 1 2 AB AC AB AC 因为 M 为 BC 的中点,所以 (), AM 1 2 AB AC | | AM 1 2 AB AC 1 2 AB AC 2 . 1 2 |AB |22AB AC |AC |2 因为|2|22|2,所以| AB AC AB AC AM ,所以|min 1 2 22(1 2) 1 2 AM 1 2 答案:D 3若平面向量 a,b 满足|2ab|3,则 ab 的最小值是_ 解析:由|2ab|3 可知,4a2b24ab9,所以 4a2b294ab.而 4a2b2|2a|2|b|22|2a|b|4ab,所以 ab ,当且仅当 2ab
11、 时取 9 8 等号 答案: 9 8 4已知 a(1,1),向量 a 与 b 的夹角为,且 ab1. 3 4 (1)求向量 b; (2)若向量 b 与向量 p(1,0)的夹角为 ,向量 q,其中 2 (cosA,2cos2 C 2) A,C 为ABC 的内角,且 AC,求|bq|的最小值 2 3 解:(1)设 b(x,y),由 ab1 得,xy1, a 与 b 的夹角为,ab|a|b|cos1, 3 4 3 4 即1,x2y21. 2x2y2( 2 2) 由解得Error!Error!或Error!Error!b(1,0)或 b(0,1) (2)由 bp 得 b(0,1), 由 AC得 0A.又 b(0,1), 2 3 2 3 bq(cosA,cosC) (cosA,2cos2 C 21) |bq|2cos2Acos2C 1cos2A 2 1cos2C 2 1 1 2cos2Acos( 4 3 2A) 1 1 2( 1 2cos2A 3 2 sin2A) 1 cos, 1 2 (2A 3) 0A, 2A . 2 3 3 3 5 3 当 cos1 时,|bq|取得最小值 (2A 3) |bq| ,|bq|min. 2min 1 2 2 2