《2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-2）练习：第1章 3 反证法 活页作业3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-2）练习：第1章 3 反证法 活页作业3 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、活页作业活页作业(三三) 反证法反证法 1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角 C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个” ，故选 B 答案：B 2设 a，b，c 是正数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是 “P，Q，R 同时大于零”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：必要性显然成立充分性：若 PQR0，则 P，Q，R 同时大于零或其中两个 负的一个正的，不妨设 P0，Q0，R0. 因为 P0，Q0，
2、即 abc，bca， 所以 abbcca. 所以 b0，这与 a，b，c 都是正数矛盾 故 P，Q，R 同时大于零 答案：C 3设 a，b，c(，0)，则 a ，b ，c ( ) 1 b 1 c 1 a A都不大于2 B都不小于 2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2 解析：对于 C，可用反证法证明如下： 假设 a 2，b 2，c 2 同时成立，则6， 1 b 1 c 1 a (a 1 b) (b 1 c) (c 1 a) 这与6 矛盾 (a 1 b) (b 1 c) (c 1 a) (a 1 a) (b 1 b) (c 1 c) 答案：C 4已知：x10，x11，且 xn1(n1,2
3、，3，)试证：数列xn或者对 xnx2 n3 3x2 n1 任意正整数 n 都满足 xnxn1，或者对任意的正整数 n 都满足 xnxn1.当此题用反证法否 定结论时，应为( ) A对任意的正整数 n，有 xnxn1 B存在正整数 n，使 xnxn1 C存在正整数 n，使 xnxn1且 xnxn1 D存在正整数 n，使(xnxn1)(xnxn1)0 解析：证明结论的含义是数列an为单调数列，因此对它的否定是数列an不为单调 数列， 即为常数数列或存在不具备单调的项，故选 D 答案：D 5用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时， 要做的假设是( ) A方程
4、 x3axb0 没有实根 B方程 x3axb0 至多有一个实根 C方程 x3axb0 至多有两个实根 D方程 x3axb0 恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3axb0 没有 实根” 答案：A 6对于定义在实数集 R 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使 f(x0)x0，那么 x0叫作函 数 f(x)的一个好点已知函数 f(x)x22ax1 不存在好点，那么 a 的取值范围是 _ 解析：假设函数 f(x)存在好点 x， 即 x22ax1x， 即 x2(2a1)x10. 所以 (2a1)240， 解得 a 或 a . 1 2 3 2 因此 f(x
5、)不存在好点时，a. ( 1 2， 3 2) 答案：( 1 2， 3 2) 7用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ABC9090C180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错 误 所以一个三角形不能有两个直角 假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90. 上述步骤的正确顺序为_ 解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为. 答案： 8在ABC 中，若 ABAC，P 是ABC 内一点，APBAPC，求证： BAPCAP.用反证法证明时，假设应分_和_两类 解析：BAPCAP 的否定为BAPCAP，因此假设应分两类：BAPCAP 和BAPCAP. 答案：BAPCAP B
6、APCAP 9用反证法证明：已知 a，b 均为有理数，且和都是无理数，求证：是无 abab 理数 证明：假设为有理数，则()()ab. ababab 由 a0，b0，得0. ab . ab ab a b a，b 为有理数，且为有理数 ab 为有理数，即为有理数 ab a bab ()()为有理数，即 2为有理数 ababa 应为有理数，这与已知为无理数矛盾 aa 一定为无理数 ab 10已知 x0，y0，且 xy2. 求证：，中至少有一个小于 2. 1x y 1y x 证明：假设，都不小于 2， 1x y 1y x 即2，2. 1x y 1y x x0，y0，1x2y,1y2x. 2xy2(x
7、y) 即 xy2，与已知 xy2 矛盾， 故假设错误，原命题正确 ，中至少有一个小于 2. 1x y 1y x 11用反证法证明命题“a，bN，如果 ab 能被 5 整除，那么 a，b 至少有一个能被 5 整除” ，则假设的内容是( ) Aa，b 都能被 5 整除 Ba，b 都不能被 5 整除 Ca 不能被 5 整除 Da，b 有一个不能被 5 整除 解析：至少有一个的反面是一个也没有，故选 B 答案：B 12若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有 一个方程有实根，则实数 a 的取值范围为_ 解析：假设三个方程均无实根，则有 Error!Error! 解
8、得Error!Error! 即 a1. 3 2 所以当 a1 或 a 时，三个方程至少有一个方程有实根 3 2 答案：a1 或 a 3 2 13设二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，若关于 x 的不等式 f(x1)0 的解集为0,1， 则关于 x 的不等式 f(x1)0 的解集为_ 解析：将函数 yf(x1)的图像向左平移 2 个单位得到函数 yf(x1)的图像，不等式 f(x1)0 的解集为0,1，所以 yf(x1)的图像是开口向下的抛物线，与 x 轴的交点为 (0,0)，(1,0)，所以不等式 f(x1)0 的解集为(，21，) 答案：(，21，) 14已知集合a，b，c0,1,2，且
9、下列三个关系：a2；b2；c0 有且 只有一个正确，则 100a10bc 等于_ 解析：(1)若正确，则不正确，由不正确得 c0，由正确得 a1，所以 b2，与不正确矛盾，故不正确(2)若正确，则不正确，由不正确得 a2， 与正确矛盾，故不正确(3)若正确，则不正确，由不正确得 a2，由不正 确及正确得 b0，c1，此时 100a10bc10021001201. 答案：201 15设二次函数 f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇 数 求证：f(x)0 无整数根 证明：假设 f(x)0 有一个整数根 k， 则 ak2bkc. 又f(0)c，f(1)a
10、bc 均为奇数 ab 为偶数 当 k 为偶数时，显然与式矛盾； 当 k 为奇数时，设 k2n1(nZ)，则 ak2bk(2n1)(2naab)为偶数，也与 式矛盾，故假设不成立 所以方程 f(x)0 无整数根 16已知函数 f(x)在区间1，)上是增函数，且当 x01，f(x0)1 时，有 f(f(x0) x0，求证：f(x0)x0. 证明：假设 f(x0)x0， 则必有 f(x0)x0或 f(x0)x0. 若 f(x0)x01，由 f(x)在1，)上为增函数，得 f(f(x0)f(x0) 又 f(f(x0)x0，f(x0)x0，与假设矛盾 若 x0f(x0)1，同理，得 f(x0)f (f(x0) 又 f(f(x0)x0，x0f(x0)，也与假设矛盾 综上所述，当 x01，f(x0)1，且 f(f(x0)x0时，f(x0)x0.
