《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第12章选4系列 12.3 绝对值不等式 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第12章选4系列 12.3 绝对值不等式 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3 绝对值不等式 知识梳理 1绝对值不等式 (1)定理 如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时， 等号成立 (2)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当 (ab)(bc)0 时，等号成立，即 b 落在 a，c 之间 (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 |a1a2an|a1|a2|an|. |a|b|ab|a|b|. 2绝对值不等式的解法 (1)形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转 化为二次不等式求解 (2)绝对值不等式|x|a 与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc(c0)
2、， |axb|caxbc 或 axbc(c0) 诊断自测 1概念思辨 (1)不等式|x1|x2|c 的解集为 R，则 c0.( ) (3)|axb|c(c0)的解集，等价于caxbc.( ) (4)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A45P19T5)解不等式|2x1|x2|4. 解 当 x 时，原不等式可化为2x12x4，所以 1 2 x4，所以 x1，此 1 2 时 14，所以 x ，此时 5 3 x2. 综上，原不等式的解集为(，1)(1，) (2)(选修 A45P20T9)设函数 f(x)|x4|x3|.
3、 解不等式 f(x)3； 若 f(x)a 对一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 当 x3 时，原不等式可化为 4x3x3，即 x2， 所以 x2； 当 35 时，原不等式等价于 x1(x5)1 的解集 (1)去绝对值符号转化为分段函数； (2)根据(1)作出的图象，采用数形结合方法求解 解 (1)f(x)Error!Error! yf(x)的图象如图所示 (2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3； 当 f(x)1 时，可得 x 或 x5， 1 3 故 f(x)1 的解集为x|11 的解集为Error!Error!. 方法技巧 解|xa|xb|c 或
4、|xa|xb|c 的一般步骤 1用“零点分段法” (1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若 干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等 式，求出解集； (4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 2利用|xa|xb|的几何意义 数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体， |xa|xb|xa(xb)|ab|. 3图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合 图象求解见典例 提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论 是分段去绝对值号还是利用几何意义
5、，都要不重不漏 冲关针对训练 (2017全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围 解 (1)f(x)Error!Error! 当 x1 时，f(x)1 无解； 当1x2 时，由 f(x)1，得 2x11，解得 1x2； 当 x2 时，由 f(x)1，解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为x|x1 (2)由 f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x| 2 ， (|x| 3 2) 5 4 5 4 且当 x 时，|x1|x2|x2x ， 3
6、 2 5 4 故 m 的取值范围为. (， 5 4 题型 2 绝对值不等式性质的应用 (2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a. 典例 (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值 范围 (1)将不等式化为|xa|c 的形式求 解(2)利用绝对值不等式性质消去 a. 解 (1)当 a2 时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3. 因此 f(x)6 的解集为x|1x3 (2)当 xR 时，f(x)g(x) |2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a， 当 x 时等号成立，所
7、以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于 1 2 |1a|a3. 当 a1 时，等价于 1aa3，无解 当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2. 所以 a 的取值范围是2，) 条件探究 将典例(1)中条件“a2 时”变为“g(x)|2x1|， 若 g(x)5 时，恒有 f(x)6” ，试求 a 的最大值 解 g(x)5|2x1|552x152x3； f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3. 依题意有 a32，a1.故 a 的最大值为 1. 方法技巧 绝对值不等式性质的应用 利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和 |ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的 a，b，利用整体
8、 思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值，(2)证明不等 式见典例 冲关针对训练 (2018福建漳州模拟)已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x) |x1|2. 若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 解 因为对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立， 所以y|yf(x)y|yg(x)， 又 f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|， g(x)|x1|22， 所以|a3|2，解得 a1 或 a5， 所以实数 a 的取值范围为1，)(，5 1(2017河西区三模)若存在实数 x，使|xa|x1|
9、3 成立， 则实数 a 的取值范围是( ) A2,1 B2,2 C2,3 D2,4 答案 D 解析 由|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，不等式 |xa|x1|3 有解，可得|a1|3，即3a13，求得 2a4.故选 D. 2(2017潍坊一模)若关于 x 的不等式|x1|x2|m70 的解集为 R，则实数 m 的取值范围为( ) A(4，) B4，) C(，4) D(，4 答案 A 解析 不等式|x1|x2|m70， 移项：|x1|x2|7m， 根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x1|x2|的最小值 是 3， 解集为 R，只需要 37m 恒成立即可， 解得 m4.故选 A. 3(201
10、7北仑区期中)关于 x 的不等式|x1|x3|a23a 的 解集为非空数集，则实数 a 的取值范围是( ) A12 Da1 或 a2 答案 B 解析 关于 x 的不等式|x1|x3|a23a 的解集为非空数集， 则 a23a0) (1)当 a4 时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a4 时，不等式为|2x1|x1|2. 当 x1 时，x0，此时 x 不存在， 原不等式的解集为Error!Error!. (2)令 f(x)|2x1|x1|， 则 f(x)Error!Error! 故 f(x)，即 f(x)的最小值为 . 3 2，) 3 2 若 f(x)
11、log2a 有解，则 log2a ， 3 2 解得 a，即 a 的取值范围是. 2 4 2 4 ，) 2(2017广东潮州二模)设函数 f(x)|2x3|x1|. (1)解不等式 f(x)4； (2)若x，不等式 a14Error!Error!或Error!Error!或Error!Error! x1. 不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，) (2)由(1)知，当 x ， 3 2 5 2 a1 ，即 a . 5 2 3 2 实数 a 的取值范围为. (， 3 2 3(2017湖北黄冈调研)已知函数 f(x) |2xa|2x1|(aR) (1)当 a1 时，求 f(x)2 的解集； (2)
12、若 f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数 a 的取值范 1 2，1 围 解 (1)当 a1 时，f(x)|2x1|2x1|，f(x)2 |x 1 2| 1，上述不等式的几何意义为数轴上点 x 到两点 ， 距离 |x 1 2| 1 2 1 2 之和小于或等于 1，则 x ，即原不等式的解集为. 1 2 1 2 1 2， 1 2 (2)f(x)|2x1|的解集包含， 1 2，1 当 x时，不等式 f(x)|2x1|恒成立， 1 2，1 当 x时，|2xa|2x12x1 恒成立， 1 2，1 2x2a2x2 在 x上恒成立， 1 2，1 (2x2)maxa(2x2)min， ( x 1 2，1)
13、 0a3.故实数 a 的取值范围是0,3 4(2018山西八校联考)设函数 f(x)|x1|xa|. (1)若 f(x)5 对于 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 a1 时，函数 f(x)的最小值为 t，且正实数 m，n 满足 mnt，求证： 2. 1 m 1 n 解 (1)|x1|xa|表示数轴上的动点 x 到两定点1，a 的距 离之和，故当 a4 或 a6 时，|x1|xa|5 对于 xR 恒成 立，即实数 a 的取值范围为(，64，) (2)证明：因为|x1|x1|x11x|2，所以 f(x) min2，即 t2，故 mn2，又 m，n 为正实数， 所以 (22)2，当 1 m 1 n ( mn 2 )( 1 m 1 n) 1 2(11 n m m n) 1 2 且仅当 mn1 时取等号 5(2017沈阳模拟)设 f(x)|ax1|. (1)若 f(x)2 的解集为6,2，求实数 a 的值； (2)当 a2 时，若存在 xR，使得不等式 f(2x1)f(x1) 73m 成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)显然 a0，当 a0 时，解集为， 1 a， 3 a 则 6， 2，无解； 1 a 3 a 当 a1 时，2x3，x1.5. 综上所述 x 的取值范围为(，1.51.5，)
