《2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义:第8章平面解析几何 8.7 抛物线 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义:第8章平面解析几何 8.7 抛物线 (32页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7 抛物线 知识梳理 1抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)距离相等的点的轨迹 叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 3必记结论 (1)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F的距离 ( p 2,0) |PF|x0 ,也称为抛物线的焦半径 p 2 (2)y2ax 的焦点坐标为,准线方程为 x . ( a 4,0) a 4 (3)直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点,交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,如图 y1y2p2,x1x2. p2 4 |AB|x1x2p,x
2、1x22p,即当 x1x2时,弦长最 x1x2 短为 2p. 为定值 . 1 |AF| 1 |BF| 2 p 弦长 AB( 为 AB 的倾斜角) 2p sin2 以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A,B 在准线上射影的张角为 90. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 一定是抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且 其焦点坐标是,准线方程是 x .( ) ( a 4,0) a 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得
3、的 线段叫做抛物线的通径,那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A11P64A 组 T2)抛物线 y x2(a0)的焦点坐标为( ) 1 a A.或 B. (0, a 4) (0, a 4) (0, a 4) C. D. (0, a 4) ( a 4,0) 答案 C 解析 把方程写成 x2ay,若 a0,则 p ,焦点为 F; a 2 (0, a 4) 若 a0)经过 C,F 两点,则 _. b a 答案 1 2 解析 |OD| ,|DE|b,|DC|a,|EF|b,故 C,F a 2 ( a 2,a) , (
4、a 2b,b) 又抛物线 y22px(p0)经过 C,F 两点, 从而有Error!Error!即Error!Error! b2a22ab, 22 10,又 1, ( b a) b a b a 1. b a2 题型 1 抛物线的定义及应用 (2016浙江高考)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距 典例 离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_ 抛物线定义法 答案 9 解析 设 M(x0,y0),由抛物线方程知焦点 F(1,0)根据抛物线 的定义得|MF|x0110,x09,即点 M 到 y 轴的距离为 9. 条件探究 1 将典例条件变为“过该抛物线焦点 F 的直线交抛 物线于 A、B 两
5、点,若|AF|3” ,求AOB 的面积 解 焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、四象限,则点 A 到准线 l:x1 的距离为 3,得 A 的横坐标为 2,纵坐标为 2,AB 的方 2 程为 y2(x1),与抛物线方程联立可得 2x25x20,所以 B 2 的横坐标为 ,纵坐标为,SAOB 1(2). 1 22 1 222 3 2 2 条件探究 2 将典例条件变为“在抛物线上找一点 M,使 |MA|MF|最小,其中 A(3,2)” 求 M 点坐标及此时的最小值 解 如图,点 A 在抛物线 y24x 的内部,由抛物线的定义可知, |MA|MF|MA|MH|, 其中|MH|为 M 到抛物线的
6、准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1,垂足为 B, 则|MA|MF|MA|MH|AB|4, 当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立 此时 M1点的坐标为(1,2) 方法技巧 利用抛物线的定义可解决的常见问题 1轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距 离有关的轨迹是否为抛物线见典例 2距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见条件 探究 2. 3看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦 有关问题的重要途径 冲关针对训练 (2017湖北二模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点,A,B,C
7、为该抛 物线上三点,若0,则|FA|FB|FC|的值为( ) FA FB FC A3 B6 C9 D12 答案 B 解析 抛物线 y24x 焦点坐标为 F(1,0),准线方程 x1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 0, FA FB FC 点 F 是ABC 重心,则1, x1x2x3 3 x1x2x33. 由抛物线的定义可知:|FA|FB|FC|(x11)(x21) (x31)6, |FA|FB|FC|6,故选 B. 题型 2 抛物线的标准方程及性质 设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上, 典例1 |MF|5,若以 MF 为直径的圆过点(0
8、,2),则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 本题采用待定系数法,列方程求 解 答案 C 解析 以 MF 为直径的圆过点(0,2),点 M 在第一象限由 |MF|xM 5 可得 M,以 MF 为直径的圆,其 p 2 (5 p 2, 2p(5 p 2) 圆心 N 为,点 N 的横坐标恰好等于圆的半径, ( 5 2, 1 2 2p(5 p 2) 圆与 y 轴切于点(0,2),从而 2,即 p210p160,解 1 2 2p(5p 2) 得 p2 或 p8,抛物线方程为 y24x 或 y216x.故选 C.
9、 (2016天津高考)设抛物线Error!Error!(t 为参数,p0)的焦 典例2 点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.设 C ,AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|,且ACE 的面积为 3 ( 7 2p,0) ,则 p 的值为_ 2 答案 6 解析 根据题意作出如图所示图形,由已知得抛物线的方程为 y22px(p0),则|FC|3p,|AF|AB| p,不妨设 A 在第一象限, 3 2 则 A(p,p)易证EFCEAB,所以2,所 2 |EF| |AE| |FC| |AB| |FC| |AF| 以 ,所以 SACE SAFC ppp23,所
10、以 |AE| |AF| 1 3 1 3 1 3 3 22 2 22 p. 6 方法技巧 确定及应用抛物线性质的关键与技巧 1关键:利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时, 关键是将抛物线方程化成标准方程见典例 1. 2技巧:要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助 解见典例 2. 冲关针对训练 1.如图,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线 的方程为( ) Ay29x By26x Cy23x Dy2x 3 答案 C 解析 设 A,B 在准线上的射影分别为 A1,B1, 由于|BC|2
11、|BF|2|BB1|,则直线 l 的斜率为, 3 故|AC|2|AA1|6,从而|BF|1,|AB|4, 故 ,即 p ,从而抛物线的方程为 y23x,故选 p |AA1| |CF| |AC| 1 2 3 2 C. 2(2018河南洛阳统考)已知 F1,F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点,P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交点,若|PF1|PF2|12,则抛物线的准线方程为_ 答案 x2 解析 将双曲线方程化为标准方程得1,可得 F2(2a,0), x2 a2 y2 3a2 又易知其也是抛物线的焦点,联立Error!Error!x3a,即点 P 的横坐标 为 3a.
12、而由Error!Error!|PF2|6a, |PF2|3a2a6a,得 a1,抛物线的准线方程为 x2. 题型 3 直线与抛物线的综合问题 角度 1 直线与抛物线的交点问题 (2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 典例 l:yt(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y22px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求; |OH| |ON| (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由 本题采用方程组法 解 (1)由已知得 M(0,t),P. ( t2 2p,t) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故
13、 N,故 ON 的方程为 y ( t2 p ,t) x,将其代入 y22px,整理得 px22t2x0,解得 x10,x2, p t 2t2 p 因此 H.所以 N 为 OH 的中点,即2. ( 2t2 p ,2t) |OH| |ON| (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点 理由如下:直线 MH 的方程为 yt x, p 2t 即 x (yt) 2t p 代入 y22px,得 y24ty4t20,解得 y1y22t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共 点 角度 2 与抛物线弦中点有关的问题 (2018郑州模拟)已知抛物线 C:
14、ymx2(m0),焦点 典例 为 F,直线 2xy20 交抛物线 C 于 A,B 两点,P 是线段 AB 的 中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标; (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3,求此时 m 的值; (3)是否存在实数 m,使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形? 若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 解 (1)抛物线 C:x2 y,它的焦点 F. 1 m (0, 1 4m) (2)|RF|yR,23,得 m . 1 4m 1 4m 1 4 (3)存在,联立方程Error!Error! 消去
15、y 得 mx22x20, 依题意,有 (2)24m(2)0m . 1 2 设 A(x1,mx ),B(x2,mx ), 2 12 2 则Error!Error!(*) P 是线段 AB 的中点, P,即 P, ( x1x2 2 ,mx2 1mx2 2 2 )( 1 m,yP) Q. ( 1 m, 1 m) 得, QA (x1 1 m,mx2 1 1 m) QB (x2 1 m,mx2 2 1 m) 若存在实数 m,使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形,则 0, QA QB 即0, (x1 1 m) (x2 1 m) (mx2 1 1 m)(mx2 2 1 m) 结合(*)化简得 40, 4 m2 6 m 即 2m23m20,m2 或 m , 1 2 而 2, . ( 1 2