《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.7 抛物线 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.7 抛物线 （32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7 抛物线 知识梳理 1抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)距离相等的点的轨迹 叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 3必记结论 (1)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F的距离 ( p 2，0) |PF|x0 ，也称为抛物线的焦半径 p 2 (2)y2ax 的焦点坐标为，准线方程为 x . ( a 4，0) a 4 (3)直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，如图 y1y2p2，x1x2. p2 4 |AB|x1x2p，x
2、1x22p，即当 x1x2时，弦长最 x1x2 短为 2p. 为定值 . 1 |AF| 1 |BF| 2 p 弦长 AB( 为 AB 的倾斜角) 2p sin2 以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 一定是抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且 其焦点坐标是，准线方程是 x .( ) ( a 4，0) a 4 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得
3、的 线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A11P64A 组 T2)抛物线 y x2(a0)的焦点坐标为( ) 1 a A.或 B. (0， a 4) (0， a 4) (0， a 4) C. D. (0， a 4) ( a 4，0) 答案 C 解析 把方程写成 x2ay，若 a0，则 p ，焦点为 F； a 2 (0， a 4) 若 a0)经过 C，F 两点，则 _. b a 答案 1 2 解析 |OD| ，|DE|b，|DC|a，|EF|b，故 C，F a 2 ( a 2，a) ， (
4、a 2b，b) 又抛物线 y22px(p0)经过 C，F 两点， 从而有Error!Error!即Error!Error! b2a22ab， 22 10，又 1， ( b a) b a b a 1. b a2 题型 1 抛物线的定义及应用 (2016浙江高考)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距 典例 离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_ 抛物线定义法 答案 9 解析 设 M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点 F(1,0)根据抛物线 的定义得|MF|x0110，x09，即点 M 到 y 轴的距离为 9. 条件探究 1 将典例条件变为“过该抛物线焦点 F 的直线交抛 物线于 A、B 两
5、点，若|AF|3” ，求AOB 的面积 解 焦点 F(1,0)，设 A，B 分别在第一、四象限，则点 A 到准线 l：x1 的距离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵坐标为 2，AB 的方 2 程为 y2(x1)，与抛物线方程联立可得 2x25x20，所以 B 2 的横坐标为 ，纵坐标为，SAOB 1(2). 1 22 1 222 3 2 2 条件探究 2 将典例条件变为“在抛物线上找一点 M，使 |MA|MF|最小，其中 A(3,2)” 求 M 点坐标及此时的最小值 解 如图，点 A 在抛物线 y24x 的内部，由抛物线的定义可知， |MA|MF|MA|MH|， 其中|MH|为 M 到抛物线的
6、准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B， 则|MA|MF|MA|MH|AB|4， 当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立 此时 M1点的坐标为(1,2) 方法技巧 利用抛物线的定义可解决的常见问题 1轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距 离有关的轨迹是否为抛物线见典例 2距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见条件 探究 2. 3看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦 有关问题的重要途径 冲关针对训练 (2017湖北二模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C
7、为该抛 物线上三点，若0，则|FA|FB|FC|的值为( ) FA FB FC A3 B6 C9 D12 答案 B 解析 抛物线 y24x 焦点坐标为 F(1,0)，准线方程 x1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) 0， FA FB FC 点 F 是ABC 重心，则1， x1x2x3 3 x1x2x33. 由抛物线的定义可知：|FA|FB|FC|(x11)(x21) (x31)6， |FA|FB|FC|6，故选 B. 题型 2 抛物线的标准方程及性质 设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， 典例1 |MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0
8、,2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 本题采用待定系数法，列方程求 解 答案 C 解析 以 MF 为直径的圆过点(0,2)，点 M 在第一象限由 |MF|xM 5 可得 M，以 MF 为直径的圆，其 p 2 (5 p 2， 2p(5 p 2) 圆心 N 为，点 N 的横坐标恰好等于圆的半径， ( 5 2， 1 2 2p(5 p 2) 圆与 y 轴切于点(0,2)，从而 2，即 p210p160，解 1 2 2p(5p 2) 得 p2 或 p8，抛物线方程为 y24x 或 y216x.故选 C.
9、 (2016天津高考)设抛物线Error!Error!(t 为参数，p0)的焦 典例2 点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C ，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3 ( 7 2p，0) ，则 p 的值为_ 2 答案 6 解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为 y22px(p0)，则|FC|3p，|AF|AB| p，不妨设 A 在第一象限， 3 2 则 A(p，p)易证EFCEAB，所以2，所 2 |EF| |AE| |FC| |AB| |FC| |AF| 以 ，所以 SACE SAFC ppp23，所
10、以 |AE| |AF| 1 3 1 3 1 3 3 22 2 22 p. 6 方法技巧 确定及应用抛物线性质的关键与技巧 1关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时， 关键是将抛物线方程化成标准方程见典例 1. 2技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助 解见典例 2. 冲关针对训练 1.如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线 的方程为( ) Ay29x By26x Cy23x Dy2x 3 答案 C 解析 设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1， 由于|BC|2
11、|BF|2|BB1|，则直线 l 的斜率为， 3 故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4， 故 ，即 p ，从而抛物线的方程为 y23x，故选 p |AA1| |CF| |AC| 1 2 3 2 C. 2(2018河南洛阳统考)已知 F1，F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_ 答案 x2 解析 将双曲线方程化为标准方程得1，可得 F2(2a,0)， x2 a2 y2 3a2 又易知其也是抛物线的焦点，联立Error!Error!x3a，即点 P 的横坐标 为 3a.
12、而由Error!Error!|PF2|6a， |PF2|3a2a6a，得 a1，抛物线的准线方程为 x2. 题型 3 直线与抛物线的综合问题 角度 1 直线与抛物线的交点问题 (2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 典例 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求； |OH| |ON| (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由 本题采用方程组法 解 (1)由已知得 M(0，t)，P. ( t2 2p，t) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故
13、 N，故 ON 的方程为 y ( t2 p ，t) x，将其代入 y22px，整理得 px22t2x0，解得 x10，x2， p t 2t2 p 因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2. ( 2t2 p ，2t) |OH| |ON| (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点 理由如下：直线 MH 的方程为 yt x， p 2t 即 x (yt) 2t p 代入 y22px，得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共 点 角度 2 与抛物线弦中点有关的问题 (2018郑州模拟)已知抛物线 C：
14、ymx2(m0)，焦点 典例 为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的 中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)抛物线 C：x2 y，它的焦点 F. 1 m (0， 1 4m) (2)|RF|yR，23，得 m . 1 4m 1 4m 1 4 (3)存在，联立方程Error!Error! 消去
15、y 得 mx22x20， 依题意，有 (2)24m(2)0m . 1 2 设 A(x1，mx )，B(x2，mx )， 2 12 2 则Error!Error!(*) P 是线段 AB 的中点， P，即 P， ( x1x2 2 ，mx2 1mx2 2 2 )( 1 m，yP) Q. ( 1 m， 1 m) 得， QA (x1 1 m，mx2 1 1 m) QB (x2 1 m，mx2 2 1 m) 若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则 0， QA QB 即0， (x1 1 m) (x2 1 m) (mx2 1 1 m)(mx2 2 1 m) 结合(*)化简得 40， 4 m2 6 m 即 2m23m20，m2 或 m ， 1 2 而 2， . ( 1 2
