《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第1章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第1章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 （23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 命题及其关系、充分条件与必要条件 知识梳理 1命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原 命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只 能是 0,2,4. (3)写一个命题的其他三种命题时，需注意： 对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写； 当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提； 对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提 3充要条件 (1)集合与充要条件 (2)充分条件与必要条件的两个特征 对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “pq”“qp”
2、传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条 件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“pq 且 qr”“pr” (“pq 且 qr”“pr”) 诊断自测 1概念思辨 (1)“x22x31”是“x0”的充分不必要条件. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A11P6练习)命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶 数”的逆否命题是( ) A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶
3、数 答案 C 解析 若命题为“若 p，则 q” ，命题的逆否命题为“若非 q， 则非 p” ，所以原命题的逆否命题是“若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不 都是偶数” 故选 C. (2)(选修 A11P12A 组 T3)x23x20 是 x1 的_条 件 答案 充分不必要 解析 若 x23x20 则 x1 且 x2，此时充分性成立， 当 x2 时，满足 x1，但此时 x23x20 成立，即必要性 不成立， 即 x23x20 是 x1 的充分不必要条件 3小题热身 (1)(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S4 S62S5”的( ) A充分不必
4、要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 解法一：数列an是公差为 d 的等差数列， S44a16d，S55a110d，S66a115d， S4S610a121d,2S510a120d. 若 d0，则 21d20d,10a121d10a120d， 即 S4S62S5. 若 S4S62S5，则 10a121d10a120d，即 21d20d， d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件 故选 C. 解法二：S4S62S5S4S4a5a62(S4a5) a6a5a5da5d0，“d0”是“S4S62S5”的充分必要条 件故选 C. (2)(2017山东
5、潍坊高三期末)命题“若 x5，则 x28x150” ， 那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 B 解析 原命题“若 x5，则 x28x150”为真命题，又当 x28x150 时，x3 或 5. 故其逆命题：“若 x28x150，则 x5”为假命题又由四 种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命 题故选 B. 题型 1 四种命题的关系及真假判断 已知：命题“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是增 典例1 函数，则 m1” ，则下列结论正确的是( ) A否命题是“若函数 f(x)exmx 在(0，)上是减函数
6、， 则 m1” ，是真命题 B逆命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是 增函数” ，是假命题 C逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是 减函数” ， 是真命题 D逆否命题是“若 m1, 则函数 f(x)exmx 在(0，)上不 是增函数” ，是真命题 本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断 答案 D 解析 由 f(x)exmx 在(0，)上是增函数，则 f(x) exm0 恒成立，m1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x) exmx 在(0，)上不是增函数”是真命题故选 D. (2018黄梅期末)给出下列命题： 典例2
7、命题“若 b24acb0，则0”的逆否命题； 3 a 3 b “若 m1，则 mx22(m1)x(m3)0 的解集为 R”的逆 命题 其中真命题的序号为_ 分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断 答案 解析 命题“若 b24acb0，则0”是真命题，它的逆否命题也 3 a 3 b 是真命题； 命题“若 m1，则 mx22(m1)x(m3)0 的解集为 R” 的逆命题是“若 mx22(m1)x(m3)0 的解集为 R，则 m1” 是假命题， 不等式的解集为 R 时，Error!Error!的解集为，逆命题是假命题； 真命题有. 方法技巧 四种命题关系及真假判断的方法 1由原命题写出其他三种
8、命题，关键要分清原命题的条件和结 论，如果命题不是“若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不 变例如典例 2. 2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为 假命题，只需举出反例 3根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同 假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其 等价命题的真假例如冲关针对训练 2. 冲关针对训练 1(2018陕西模拟)原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则 |z1|z2|” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如 下，正确的是( ) A真，假，真 B假，
9、假，真 C真，真，假 D假，假，假 答案 B 解析 先证原命题为真：当 z1，z2互为共轭复数时，设 z1abi(a，bR)，则 z2abi，则|z1|z2|，原命题 a2b2 为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：取 z11，z2i，满足 |z1|z2|，但是 z1，z2不互为共轭复数，逆命题为假，故否命题也 为假故选 B. 2(2017沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有 _(填序号) 命题“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； 命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题； 命题“若 ABB，则 AB”的逆否命题 答案 解析 对于，命题“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题
10、是“若 x，y 互为倒数，则 xy1” ，它是真命题；对于，命题“面 积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形 不全等” ，它是真命题；对于，命题“若 ABB，则 AB”是 假命题，它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是. 题型 2 充分条件与必要条件的判定 角度 1 利用定义判断充分、必要条件 (2018赣中南五校联考)已知 ， 均为第一象限角，那 典例 么 是 sinsin 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 利用定义结合代特殊值法进行判断 答案 D 解析 由 ， 均为第一象限角，可取 2 ， ，有 3 3 ，但 sins
11、in，即 不是 sinsin 的充分条件；又由 ， 均为第一象限角，可取 ，2 ，有 sinsin 成立，但 3 6 不是 sinsin 的必要条件，综上所述， 是 sinsin 的既不充分也不必要条件故选 D. 角度 2 等价转化法判断充分、必要条件 (2018阳山模拟)“a1 或 b2”是“ab3”的( ) 典例 A必要不充分条件 B既不充分也不必要条件 C充要条件 D充分不必要条件 用等价转化法 答案 A 解析 由题意得： 命题“若 a1 或 b2，则 ab3”与命题“若 ab3， 则 a1 且 b2”互为逆否命题 判断命题“若 a1 或 b2，则 ab3”的真假只要判断命 题“若 ab
12、3，则 a1 且 b2”的真假即可 因为命题“若 ab3，则 a1 且 b2”显然是假命题 所以命题“若 a1 或 b2，则 ab3”是假命题， a1 或 b2 推不出 ab3. 同理“若 a1 且 b2，则 ab3”是真命题， 命题“若 ab3，则 a1 或 b2”是真命题 ab3a1 或 b2. “a1 或 b2”是“ab3”的必要不充分条件故选 A. 角度 3 集合法判断充分、必要条件 (2017天津高考)设 R，则“”是 典例 | 12| 12 “sin ”的( ) 1 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 集合法 答案 A 解析 0 ，sin
13、 | 12| 12 12 12 12 6 1 2 ，kZ， (2k 7 6 ，2k 6) ，kZ， (0， 6) (2k 7 6 ，2k 6) “1 1 2 用数形结合法，集合法 答案 A 解析 因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点 函数 y2xa(x0)没有零点函数 y2x(x0)与直线 ya 无 公共点由数形结合，可得 a0 或 a1. 观察选项，根据集合间关系a|a1故选 A. 方法技巧 充分条件和必要条件的三种判断方法 1定义法：可按照以下三个步骤进行 (1)确定条件 p 是什么，结论 q 是什么； (2)尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件
14、p； (3)确定条件 p 和结论 q 的关系见角度 1 典例 2等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈 p 是綈 q 的什么 条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q 是 p 的什么 条件见角度 2 典例 3集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行 判断设 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 AB，则 p 是 q 的充分条件 或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 AB，则 p 是 q 的充要条件见角度 3 典例 冲关针对训练 1(2018石家庄模拟)命题 p：|x|1，綈 q 所对应的集 x| 1 2 合为RBx|xa1 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，知RBRA，所以Error!Error!解得 0a . 1 2 故所求实数 a 的取值范围是. 0， 1 2 条件探究 将条件中的“若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件” 改为“p 是 q 的充分不必要条件” ，则 a 的取值范围是什么？ 解 设 Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0， 解|4x3|1，得 x1，故 Ax； 1 2 | 1 2 x 1 解 x2(2a1)xa(a1)0，得 axa1，故
