《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用（一） （30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、211 导数在研究函数中的应用(一) 知识梳理 1函数的单调性与导数 2函数的极值与导数 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极 值 极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导 数为 0 的点不一定是极值点，即 f(x0) 0 是可导函数 f(x)在 xx0 处取得极值的必要不充分条件例如，函数 yx3在 x0 处有 y0，但 x0 不是极值点此外，函数的不可导点也可能是函数 的极值点 3函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最 小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b) 为函数的最
2、大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的 最大值，f(b)为函数的最小值 4极值与最值 (1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点 必为函数的最值点； (2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必 定是极值 诊断自测 1概念思辨 (1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓” ( ) (2)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f(x)0，那么 f(x)在(a，b)上单调 递增；反之，若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.( ) (3)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件( )
3、 (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极 小值( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 B22P35T1)已知函数 f(x)x2ln |x|，则函数 yf(x)的 大致图象是( ) 答案 A 解析 f(x)(x)2ln |x|x2ln |x|f(x)，f(x)是偶函数， 图象关于 y 轴对称，排除 D； 当 x0 时，f(x)x2ln x，f(x)2x ， 1 x 2x21 x 当 0时，f(x)0， 2 2 2 2 f(x)在上单调递减，在上单调递增，排除 C； (0， 2 2) ( 2 2 ，) 当 x时，f(x)取得最小值 f ln 0，
4、排除 B.故选 A. 2 2 ( 2 2) 1 2 2 2 (2)(选修 A22P32B 组 T1)已知 a0，函数 f(x)x3ax 在 1，)上是单调增函数，则 a 的最大值是( ) A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 由题意得 f(x)3x2a， 函数 f(x)x3ax 在1，)上是单调增函数， 在1，)上，f(x)0 恒成立， 即 a3x2在1，)上恒成立， a3.故选 D. 3小题热身 (1)(2013全国卷)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中 错误的是( ) Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x
5、)在区间(，x0)上单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 答案 C 解析 若 x0是 f(x)的极小值点，则 yf(x)的图象大致如下图 所示，则在(，x0)上不单调，故 C 不正确故选 C. (2)(2018武汉模拟)若函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(2) 2，f(x)1，则不等式 f(x)x0 的解集为_ 答案 (2，) 解析 令 g(x)f(x)x，g(x)f(x)1. 由题意知 g(x)0，g(x)为增函数 g(2)f(2)20， g(x)0 的解集为(2，) 题型 1 利用导数研究函数的单调性 角度 1 判断或证明函数的单调性 解 角度 2 已知函数单
6、调性求参数的取值范围(多维探究) 已知函数 f(x)x3ax1. 典例 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围 用分类讨论思想方法、分离系数 法 解 (1)f(x)3x2a. 当 a0 时，f(x)0， 所以 f(x)在(，)上为增函数 当 a0 时，令 3x2a0 得 x； 3a 3 当 x或 x0； 3a 3 3a 3 当0 时，f(x)在 ，上为增函数，在上为减函 (， 3a 3 ) ( 3a 3 ，) ( 3a 3 ， 3a 3 ) 数 (2)因为 f(x)在(，)上是增函数， 所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3
7、x2对 xR 恒成立 因为 3x20，所以只需 a0. 又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数， 所以 a0，即实数 a 的取值范围为(，0 条件探究 1 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，)上为增函 数，求 a 的取值范围 解 因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数， 所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒 成立，所以 a3x2在(1，)上恒成立，所以 a3，即 a 的取值范 围为(，3 条件探究 2 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上为减函数， 试求 a 的取值范围 解 由 f(x
8、)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2在 (1,1)上恒成立因为10 时为增函数，f(x)0 或 f(x)0 或 f(x)0 或 f(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数； 当 xx2时，g(x)0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在(0，)上存在极值点，且极值大于 ln 42，求 a 的取值范围 本题用构造函数法 解 (1)f(x)的定义域为(，0)(0，)， 而 f(x)ex，当 a0 时，f(x)0， a x2 故 f(x)的单调递增区间为(，0)，(0，)，无单调递减区 间 (2)当 a0 时，由(1)知 f(x)0，f(x)无极值点； 当 a0
9、对 x(0，)恒成立， 方法技巧 1利用导数研究函数极值问题的一般流程 2已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组， 利用待定系数法求解 (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所 以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 冲关针对训练 (2017郑州质检)已知函数 f(x)xln xx，g(x) x2ax(aR) a 2 (1)若 f(x)和 g(x)在(0，)有相同的单调区间，求 a 的取值范 围； (2)令 h(x)f(x)g(x)ax(aR)，若 h(x)在定义域内有两个不 同的极值点 求 a 的取值范围； 设两
10、个极值点分别为 x1，x2，证明：x1x2e2. 解 (1)由 f(x)xln xx，知函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)ln x，令 f(x)0，则 x1. 当 x1 时，f(x)0；当 00，故 a 的取值范围为(0，) (2)依题意知，函数 h(x)的定义域为(0，)，h(x)ln xax， 所以方程 h(x)0 在(0，)上有两个不同的实根， 即方程 ln xax0 在(0，)上有两个不同的实根 可转化为函数 yln x 与函数 yax 的图象在(0，)上有两个 不同的交点，如图 若令过原点且与函数 yln x 的图象相切的直线的斜率为 k，则 0x2，作差得，ln a(x1
11、x2)，即 x1 x2 a. ln x1 x2 x1x2 原不等式 x1x2e2ln x1ln x22a(x1x2)2ln . x1 x2 2x1x2 x1x2 令t，则 t1，ln ln t. x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1x2 2t1 t1 设 F(t)ln t，t1，则 F(t)0， 2t1 t1 t12 tt12 所以函数 F(t)在(1，)上单调递增，所以 F(t)F(1)0，即不 等式 ln t成立，故所证不等式 x1x2e2成立 2t1 t1 题型 3 利用导数研究函数的最值 (2017石家庄检测)已知函数 f(x) ln x2，aR. 典例 a x (1)若曲线 yf
12、(x)在点 P(2，m)处的切线平行于直线 y x1，求函数 f(x)的单调区间； 3 2 (2)是否存在实数 a，使函数 f(x)在(0，e2上有最小值 2？若存在， 求出 a 的值，若不存在，请说明理由 本题用待定系数法、分类讨论思想 方法 解 (1)f(x) ln x2(x0)， a x f(x) (x0)， a x2 1 x 又曲线 yf(x)在点 P(2，m)处的切线平行于直线 y x1， 3 2 f(2) a a8. 1 4 1 2 3 2 f(x) (x0)， 8 x2 1 x x8 x2 令 f(x)0，得 x8，f(x)在(8，)上单调递增； 令 f(x)0) a x2 1
13、x xa x2 当 a0 时，f(x)0 恒成立，即 f(x)在(0，e2上单调递增， 无最小值，不满足题意 当 a0 时，令 f(x)0，得 xa， 所以当 f(x)0 时，xa，当 f(x)e2，则函数 f(x)在(0，e2上的最小值 f(x)minf(e2)ln a e2 e22，由2，得 a2e2，满足 ae2，符合题意； a e2 a e2 若 ae2，则函数 f(x)在(0，e2上的最小值 f(x)min f(a) ln a a a2ln a1，由 ln a12，得 ae3，不满足 ae2，不符合题 意，舍去 综上可知，存在实数 a2e2，使函数 f(x)在(0，e2上有最小值 2
14、. 方法技巧 1求函数 f(x)在区间a，b上最值的方法 (1)若函数 f(x)在区间a，b上单调，则 f(a)与 f(b)一个为最大值， 一个为最小值 (2)若函数 f(x)在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极 值，与 f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表 求解 (3)若函数 f(x)在闭区间a，b上有唯一一个极值点，这个极值点 就是最大(小)值点 2已知函数 f(x)的最值求参数的方法 先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解 提醒：由 f(x)0 得到根 x0是否在a，b内不明确时要分情况 讨论 冲关针对训练 (2017德州一模)设函数 f(x)ln x ax2bx(a0)，f(1)0. 1 2 (1)用含 a 的式子表示 b； (2)令 F(x)f(x) ax2bx (00)上的最大值 c，c 1 2 解 (1)f(x)的定义域为(0，) f(x) axb，f(1)1ab0， 1 x ba1. (2)F(x)ln x ，x(0,3，则有 kF(x0) ，在 a x x0a x2 0 1 2 x0(0,3上恒成立， a max，x0(0,3 ( 1 2x2 0x0) 当 x01 时， x x0取得最大值 ， 1 2 2 0 1 2 a ，即 a
