《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示 （28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2章 函数、导数及其应用 21 函数及其表示 知识梳理 1函数与映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 yf(x)的定义域；将所有 y 组成的集合叫做函数 yf(x)的值域 (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 3分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用 几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等 于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示
2、 的是一个函数 4必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两 个函数相等 (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到 集合 B 的映射共有 nm个 (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点 诊断自测 1概念思辨 (1)函数 yf(x)的图象与直线 xa 最多有 2 个交点( ) (2)函数 f(x)x22x 与 g(t)t22t 是同一函数( ) (3)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的 映射( ) (4)f(1)x，则 f(x)(x1
3、)2(x1)( ) x 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P23T2)下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的 图象是( ) 答案 C 解析 由函数定义知，定义域内的每一个 x 都有唯一函数值与 之对应，A，B，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的 x 而 言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选 C. (2)(必修 A1P18例 2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) Af(x)|x|，g(x) x2 Bf(x)，g(x)()2 x2x Cf(x)，g(x)x1 x21 x1 Df(x)，g(x) x1x1x21 答案 A 解析 A
4、 项，函数 g(x)|x|，两个函数的对应法则和定义 x2 域相同，是相等函数；B 项，函数 f(x)|x|，g(x)x(x0)，两 x2 个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数 f(x) 的定义域为x|x1，g(x)x1 的定义域为 R，两个函数 x21 x1 的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由Error!Error!解得 x1，即函 数 f(x)的定义域为x|x1由 x210，解得 x1 或 x1，即 g(x)的定义域为x|x1 或 x1，两个函数的定义域不相同，不是 相等函数故选 A. 3小题热身 (1)(2018广东深圳模拟)函数 y的定义域为( ) x2x2
5、 ln x A(2,1) B2,1 C(0,1) D(0,1 答案 C 解析 由题意得Error!Error!解得 01，得 x，所以 f(t)lg ，即 f(x)lg 2 x 2 t1 2 t1 (x1) 2 x1 已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x) 典例3 x1，求 f(x) 待定系数法 解 设 f(x)ax2bxc，由 f(0)0，得 c0，由 f(x1)f(x) x1，得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，得 ab . 1 2 所以 f(x) x2 x(xR) 1 2 1 2 已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x) 典例4 2f1，求 f(x)
6、 ( 1 x)x 方程组法 解 由 f(x)2f1，得 ( 1 x)x f2f(x)1，消掉 f， ( 1 x) 1 x ( 1 x) 可得 f(x) . 2 3 x 1 3 方法技巧 函数解析式的常见求法 1配凑法已知 fh(x)g(x)，求 f(x)的问题，往往把右边的 g(x)整理成或配凑成只含 h(x)的式子，然后用 x 将 h(x)代换见典例 1. 2待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用 待定系数法，见典例 3. 3换元法已知 fh(x)g(x)，求 f(x)时，往往可设 h(x)t， 从中解出 x，代入 g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范 围见典例 2.
7、 4方程组法已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知 量外，还有其他未知量，如 f，f(x)等，可根据已知等式再构造 ( 1 x) 其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)见典例 4. 冲关针对训练 1(2018衢州期末)已知 f(x)是(0，)上的增函数，若 ff(x) ln x1，则 f(e)( ) A2 B1 C0 De 答案 A 解析 根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且 ff(x)ln x 1，则 f(x)ln x 为定值 设 f(x)ln xt，t 为常数，则 f(x)ln xt 且 f(t)1，即有 ln tt1，解得 t1，则 f(x)ln x1， 则
8、 f(e)ln e12.故选 A. 2已知二次函数 f(2x1)4x26x5，求 f(x) 解 解法一：(换元法)令 2x1t(tR)，则 x，所以 f(t) t1 2 4 26 5t25t9(tR)， ( t1 2 ) t1 2 所以 f(x)x25x9(xR) 解法二：(配凑法)因为 f(2x1)4x26x5(2x1) 210x4(2x1)25(2x1)9， 所以 f(x)x25x9(xR) 解法三：(待定系数法)因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x) ax2bxc(a0)，则 f(2x1)a(2x1)2b(2x1) c4ax2(4a2b)xabc. 因为 f(2x1)4x26x5，
9、所以Error!Error!解得Error!Error! 所以 f(x)x25x9(xR) 3已知 f(x)满足 2f(x)f3x1，求 f(x) ( 1 x) 解 (消元法)已知 2f(x)f3x1， ( 1 x) 以 代替式中的 x(x0)， 1 x 得 2ff(x) 1， ( 1 x) 3 x 2得 3f(x)6x 1， 3 x 故 f(x)2x (x0). 1 x 1 3 题型 4 求函数的值域 角度 1 分式型 求 f(x)，x3，1的值域 典例 5x1 4x2 分离常数法 解 由 y可得 y . 5x1 4x2 5 4 7 42x1 3x1， ， 7 20 7 42x1 7 4 y
10、3，即 y. 8 5 8 5，3 角度 2 根式型 求函数的值域 典例 (1)y2x； 12x (2)yx4. 9x2 (1)用换元法，配方法；(2)用三角换 元法 解 (1)令 t，则 x. 12x 1t2 2 yt2t1 2 (t0) (t 1 2) 5 4 当 t ，即 x 时，y 取最大值，ymax ，且 y 无最小值， 1 2 3 8 5 4 函数的值域为. (， 5 4 (2)令 x3cos，0，则 y3cos43sin3sin4. 2 ( 4) 0， ， 4 4 5 4 sin1， 2 2 ( 4) 1y34， 2 函数的值域为1,34 2 角度 3 对勾型函数 求 ylog3x
11、logx31 的值域 典例 用分类讨论法 解 ylog3xlogx31，变形得 ylog3x1. 1 log3x 当 log3x0，即 x1 时，ylog3x1211，当且 1 log3x 仅当 log3x1，即 x3 时取“” 当 log3x0 恒成立，解得 xR. 因此，该函数的定义域为 R， 原函数 f(x)log2(3x1)是由对数函数 ylog2t 和 t3x1 复合 的复合函数， 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域 R 上是单调递增的 根据指数函数的性质可知，3x0，所以，3x11， 所以 f(x)log2(3x1)log210，故选 A. 角度 5 有界性型
12、求函数 y的值域 典例 12x 12x 本题用转化法 解 由 y可得 2x. 12x 12x 1y 1y 由指数函数 y2x的有界性可知 2x0， 0，解得11，f(2)1log22(2) 3；f(log212)2log21212log266. f(2)f(log212)9.故选 C. 角度 2 求参数的值 (2018襄阳联考)已知函数 f(x) 典例 Error!Error!且 f(a)3，则 ff(14a)_. 本题用方程思想求 a，再根据区间分类 讨论，由内到外逐步求解 答案 15 8 解析 当 a1 时，f(a)2a23 无解；当 a1 时，由 f(a) log2(a1)3，得 a18
13、，解得 a7，所以 ff(14a) ff(7)f(3)232. 15 8 角度 3 分段函数与不等式的交汇 已知函数 f(x)Error!Error!若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是( ) 典例 A(，0 B(，1 C2,1 D2,0 本题用数形结合思想方法、分离常 数法 答案 D 解析 由题意作出 y|f(x)|的图象： 由图象易知，当 a0 时，yax 与 yln (x1)的图象在 x0 时 必有交点，所以当 a0，x0 时，|f(x)|ax 显然成立； 当 x0，即(log2x) 21，log2x1 或 log2x2 或 01 (x 1 2) 的 x 的取值范围是_ 答案 ( 1
14、 4，) 解析 由题意知，可对不等式分 x0,0x ，x 三段讨 1 2 1 2 论 当 x0 时，原不等式为 x1x 1， 1 2 解得 x ， x0. 1 4 1 4 当 0x 时，原不等式为 2xx 1，显然成立 1 2 1 2 当 x 时，原不等式为 2x2 1，显然成立 1 2 综上可知，x . 1 4 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1已知 Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x) x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表 示函数 f：AA 的个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 对于，当 x1 时，x21A，故错误，由函数定义 可知均正确故选 C. 2(2018吉安四校联考)已知函数 f(x) Error!Error!则 f的值为( ) 1 f2 A. B. C D18 15 16 8 9 27 16 答案 A 解析 f(2)4，ff1 2 .故选 A. 1 f2 ( 1 4) (
