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1、,2019年6月26日,材料力学,第12章 能量法与超静定问题,第十二章 能量法,12-1 概述,12-2 杆件变形能的计算,12-3 卡氏定理,12-4 能量法解超静定问题,12-1 概述,一、能量方法,二、基本原理,能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。,12-2 杆件变形能的计算,1、轴向拉压的变形能,2、扭转杆内的变形能,纯弯曲,横力弯曲,3、 弯曲变形的变形能,4、组合变形的变形能,二、变形能的普遍表达式, 克拉贝隆原理（只限于线性结构）,F-广义力 包括力和力偶,-广义位移 包括线位移和角位移,设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移.,作用有外力：,F1
2、，F2 ， ，Fi ， ,相应的位移为：,1 ， 2 ， ， i ， ,12-3 卡氏定理,结构的变形能,只给 Fi 一个增量 Fi .,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,(a),(b),由式(a)=(b),可得：,卡氏定理。,(1) 卡氏第二定理只适用于线性弹性体,说明,(2) Fi 为广义力， i 为相应的位移,卡氏第二定理的应用, 轴向拉、压, 扭转, 弯曲, 平面桁架, 组合变形,例题14 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI.梁材料为线弹 性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.,F,A,B,C,l,a,RA,AB：,BC：,A,B,C,l,a,RA,F,解：,A,B,C,l
3、,a,RA,F,例题15 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平 位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虚设一力偶 Mc , 在D截面虚设一水平力F.,CD:,CB:,AB:,A,B,C,D,a,a,2a,Me,2a,A,B,C,D,a,a,Me,例12-1 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数E、G。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。,解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为, 直接求位移,A 端的铅垂位移为,，,BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为,例题12
4、-2 圆截面杆ABC，（ABC=90）位于水平平面内，已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G . 求C 截面处的铅垂位移. 不计剪力的影响。, 附加力法求位移,BC：弯曲变形,AB：弯曲与扭转的组合变形,例 123 图 a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角 。 不计剪力对位移的影响。, 相对位移的计算,在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩 MB ，并求 出在一对外力偶 MB 及 q 共同作用下梁的支反力（图 b）。,解：,B 截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶 MB 相应的相对角位移，即,（0 x l）,梁的弯矩方程及其对MB的偏导数
5、分别为,AB 段,中间铰B两侧截面的相对转角 为,结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。,( ),BC 段,例 124 图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。,圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即,（）,用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F 的偏导数分别为,解：,，,结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。,利用对称性，由卡氏第二定理，得,例12-5 图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求 A截面的铅垂位
6、移DAy。,解：由于刚架上 A,C 截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。,同名力的处理,即,AB 段（0x l） M (x)=FA x ,各段的弯矩方程及其对 FA 的偏导数分别为,BC 段 （0y1 l / 2） M (y1)=FA l ,CD 段 （0y2 l / 2） M (y2)=FA l F y2 ,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得,（）,去掉多余约束代之约束反 力，得基本静定系,RB为多余反力,例题12-6 如图所示，梁EI 为常数，试求支座反力.,(2) 变形条件： B点的 挠度为,(a
7、), 12-4 用能量法解静不定问题,一、解除多余约束法,(4) 令 yB=0, 得,(3) 用卡氏定理求 yB,例12-7 求图示等截面刚架的支座反力。已知杆的抗弯刚度为EI，且不计剪切和轴力的影响。,该刚架是一次静不定，将A支座解除掉，并代之以A的支座反力。根据变形比较，A点实际的垂直位移等于零,用卡氏定理计算A点的垂直位移,BC段：,AB段：,q,求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程得到其他的支座反力。,q,二、截断法,将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方便的求解静不定问题。,例12-8 求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆
8、抗拉刚度相同，均为EA。,二、截断法,将3杆从中间任意位移截开，并代替以3杆的轴力作用在两个截面上（c）图。由和外力F，可写出另外两杆的轴力。列表 ：,则截面间的相对位移,变形比较，即,所以：,其余两轴力可通过平衡方程得到：,例12-9 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。,C,A,B,q,l,l,(a),解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多 余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (Ve 也将出现 )，必须把,用 q , X 表示。,由 ，得,CB, AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为,由 ，得,解得 （）和
9、图示方向相反。,（）,（）,（）,由平衡条件得,例12-10 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。,解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1, 弯矩X2, 剪力X3。该题为三次超静定。,(a),但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即,与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即,(b),弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为,注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为,(d),(e),将 (c) 式代入 (d) 和 (e) 式，可解得,例题14-2 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定，B端受力F作用，试求B点的铅垂位移和水平位移。,解：,1. 求铅垂位移,2. 求水平位移,谢谢听讲,
