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1、第二讲 Z变换 例题,重要概念： 连续系统： 傅里叶变换拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质和定理，单位取样响应h(n)的Z变换-系统函数 与系统稳定性之间的关系。,例1 求以下序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域： （1） （2） （3） （4）,分析： 中，n的取值范围是 的有值范围，z变换的收敛域是满足,的z值范围。,解： （1）由z变换的定义可知：,收敛域为 即 极点为 零点为,（2）由z变换的定义可知：,收敛域为： 极点为 零点为：,（3）由z变换的定义可知：,收敛域为 极点为 零点为,（4）由z变换的定义可知：,与 的
2、收敛域相同，所以 的收敛域是 极点 零点,例2 假如 的z变换表示式为下式，问 可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？,分析：有限长序列的收敛域为 特殊情况： 右边序列的收敛域为 Rx-|z| 因果序列 Rx-|z|; 左边序列的收敛域为 特例 双边序列的收敛域为 有三种收敛域：圆内，圆外，环状。 （ 需单独讨论。）,解：对X(z)的分子和分母因式分解，得,从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。 所以 X(z) 的收敛域为： （1） 为双边序列。 （2） 为左边序列 。 （3） 为右边序列 。,例3 用长除法，留数定理法，部分分式法求下列X(z)
3、的z反变换。,分析： （1）长除法：对右边序列，分子分母都按z的降幂排列。对左边序列分子分母都按z的升幂排列。 （2）部分分式法：若X(z)用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x(n)。 （3）留数定理法： 要化成 的形式与 抵消。 围线内极点留数时不取 “”，围线外极点留数时要取 “”，,解：（）长除法,可知极点z=1/2，而收敛域为 ，故x(n)为因果序列 ，所以分子分母按降幂排列。,即 所以：,（b）留数定理法： 设为 内的逆时针方向闭合曲线。 当 时,在内有1/2一个单极点，则,又因为x(n)是因果序列，故n0时，x(n)
4、=0 所以,（c）部分分式法 由题得,因为 所以,例4 对因果序列，初值定理是 ，如果序列为n0 时x(n)=0，问相应的定理是什么？讨论一个序列x(n)，其Z变换为,X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。 分析：求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。把序列分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不同），分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。,解：当序列满足n0，x(n)=0时有,所以有 若序列x(n)的z变换为,所以X(z)的极点为z 1=2， z 2=1/2,由题知，X(z)的收敛域包括单位圆，则其收敛域为,因而， 时有值的左边序列， 时有值的右边序列
5、。则,得,例5 有一信号y(n)与另两个信号 的关系是,其中 已知 利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。,分析 （1）移位定理 （2）时域卷积定理,解：根据题目条件可得,又由移位定理得,而,所以,收敛域,例6 已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统,（1）求这个系统的系统函数，并指出其收敛域； （2）求此系统的单位抽样响应； （3）此系统为不稳定系统，请找出一满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。 分析：系统函数 求收敛域，要先求零极点。 收敛域为z平面某个圆外，则为因果系统（不一定稳定） 收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一因果）。,解： （1）对题中的差分方程两边作z变换，得,所以,可求得零点为 极点为 又因为是因果系统，所以 是其收敛域。,因为,所以 式中 由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统,（3）若要系统稳定，则收敛域应包括单位圆，因此选H(z)的收敛域为 ，则,式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以,有,此系统是稳定的，但不是因果的。,
