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1、精品一对一 数学 师之航教育数列求通项公式与求和的常用方法求通项公式一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比）1、等差数列公式例1已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10，求数列an的通项公式.2、等比数列公式例2.设是公比为正数的等比数列，求的通项公式.3、通用公式:(若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式)例3已知数列的前n项和，求的通项公
2、式.二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法:(一般地，对于型如类的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求)即：；例4数列的首项为3,为等差数列且若则，则( )A0 B3 C8 D11例5已知数列满足，求数列的通项公式.2、叠乘法：（一般地对于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：）例6在数列中， =1,，求的表达式.3、构造法（当数列前一项和后一项即和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的
3、数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法）1待定系数法（、一般地对于an =kan-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式an +=k(an-1 +).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求，然后再求)例7. 数列满足，,求数列的通项公式；、对于这种形式,一般我们讨论两种情况：(1)当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。例8.设数列中，求的通项公式。(2).当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为（A、B、C为常数，）型，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求例9.数列中，且,求通项公式.(3).当然对于这种形式递推
4、关系求时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。例10、在数列中，求数列的通项公式.（2）、倒数法:(一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式)例11.已知数列满足：，求的通项公式。例12.在数列中，并且对任意都有成立，令求数列的通项公式 .（3）、对数法:(当数列和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp = man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解)例13.已知，点在函数的图象上，其中,证明数列是等比数列；例14.若数列中，=3且
5、（n是正整数），则它的通项公式是=例15、已知 a 1 =2， a 2 =3，求通项公式。例16已知数列满足，求数列的通项。例17.已知数列满足， .令，证明：是等比数列；()求的通项公式。三 、当题中给出的是Sn 和的关系时，我们一般通过作差法结合an = SnSn1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到和an+1的递推关系，或消掉得到Sn 和Sn1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。例18：已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且,求的通项公式；例19.设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列; （II）求数列的通项公式。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和
6、的最基本最重要的方法。1、等差数列的前项和公式2、等比数列的前项和公式3、常用几个数列的求和公式 （1）、 （2）、 （3）、第二类：乘公比错项相减（等差等比） 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。例1.数列中，成公比不为1的等比数列.（1）求c的值；（2）求的通项公式.第三类：列项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、2、根式形式，如：
7、例2：已知等差数列的首项 不为0，.（1）求d的值；（2）证明：对任意的属于正整数，成等比数列；（3）设的前n项和为,求数列前n项和.第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个。例3：若函数对任意都有。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论； (2）求数列的的前项和。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例4：求数列+的前项和第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比
8、数列的和或差的形式，再代入公式求和。例5：求数列9，99，999， 的前n项和例6：=例1、解：设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 例2.解：设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为例3解：，当时, 由于不适合于此等式 。 例4解：由已知知由叠加法例5解：（1）由题知： 例6解：由(n+1)=n得，= , 所以例11. 解：原式两边取倒数得：, 即例12.解：（1）当n=1时，,当时，由 ，等式两边取倒数得：所以所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为例13.解：（1）由已知，两边取对数得，即,是公比为2的等比数列.例14.解.
9、由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.例17.解：（1）证明：当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。例21：解：由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。例22.解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 解：（1）、（倒序相加） 则，由条件：对任意都有。从而：数列是的等差数列。（2）、=故：=例5：解：令 令 式式：故：例7：解：由于：则：例8：解：由于：则：=（等差+等比，利用公式求和）=14
