网络综合课件第五章有源RC网络

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1、第五章 有源RC网络 5.1 概述,有源 网络的基本元件是无源元件 、 和有源器件运算放大器。有源滤波器最初可追溯到1938年斯科特(Scott)提出的选频放大器，1945年Linvill用负阻变换器实现了第一个有源滤波器。1955年，Sallen和Key提出了用单运放实现的有源 二阶电路(Sallen-key电路)，为有源 滤波器的实际应用开辟了道路。二十世纪六十年代和七十年代，有源 网络的理论和实践都获得了极大的发展,有源网络的种类很多，本章讨论线性时不变集总数有源 网络，其综合过程也是先根据设计的技术要求求出物理可实现的网络函数，然后有源实现。网络函数有源实现的实现条件将不再受到正实性的

2、限制。 有源实现的方法: 一类是直接实现法（二阶），在这种方法中，对要实现的网络函数以状态变量方程描述，根据该状态变量方程的流程图，以有源积分器和加法器等基本元件实现之(在高阶电路中，由于存在多级反馈，并且由于运放的非理想特性所产生的附加相移，容易使网络产生不稳定)。 另一种方法针对高阶电路，主要包括是无源梯形网络的有源模拟；级联法。 以有源 网络等效无源 网络。 高阶的网络函数分解成低阶函数(二阶函数)的乘积形式由于运放具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗，从而可以把二阶节电路直接级联起来构成高阶电路。,第五章 有源RC网络 5.2 灵敏度,在网络综合中，对于一个给定的网络函数，可以有多种电路

3、实现，如果采用的元件是理想的，则各种实现的电路可以有相同的性能，然而，由于实际元件在制造时的误差及受使用环境条件的影响，会使元件的数值偏离设计要求，使所实现的网络特性偏离预期特性。 在有源网络中，更有可能导致网络函数的极点落在 S右半平面而产生自激。 减小元器件对网络特性影响的办法之一是采用高精度，低温度系数的元件。 另一种较好的办法是选择对这些元件变化具有较低灵敏度的电路。在有源网络中，灵敏度是判别电路性能的一个重要的指标。此外，在有源网络的设计中，也常常需要用灵敏度来估算各个元件参数的偏差对网络特性产生影响的程度，从而对各元件规定必须的精度和公差。,5.2.1 灵敏度的定义,设函数 ，当自

4、变量 变化为 时，函数 也 有一个 变 化 量 。函数 的相对变化与自变量 的相对变化量之比，称为 对 的灵敏度，记为 ，即：,(5-1),当自变量 的变化很小时， ，这时：,(5-2),式(5-2)表示小参数变化灵敏度。在实际应用中，绝大多数的参数变化都是小参数变化，因此，都以式(5-2)计算灵敏度，当 很小时，可用微商代替导数得：,(5-3),上式常用于估算小参数变化引起函数的变化,例5-1 已知 ，求 ，并计算 、 处， 增大1%时引起的 的相对变化量,解：,若按式(5-1)的定义式进行计算：,，,可见两种方法求得的结果相当接近，说明当 较小时，根据式(5-2)求出的灵敏度估算函数 的相

5、对变化量具有足够的精度。,由式(5-2)定义的小参数变化灵敏度，具有下述性质,1. ， ， 是常数,2. ，,3. ，,4. ，,5. ，,6. 若 ， 则,12.,11. ,10. ,9. ,8. ,7. ,5.2.2 多参数灵敏度,在网络中，对网络特性产生影响的因素很多，网络中各元件的参数都会发生变化，从而使网络的特性产生偏差，因此，分析网络中各参数同时变化时对网络特性的影响是有实际意义的。,设函数 ，则 的全微分为,从而：,(5-4),当参数变化很小时，可以用微商代替导数，即：,(5-5),上式表明了各参数变化时对函数变化的影响。为了定量地表征多参数灵敏度，可以用下面的灵敏度表示多变量函

6、数的灵敏度：,(5-6),为了评估参数变化后对函数变化的最大影响，还可以用最坏情况灵敏度表示，记为,(5-7),上述各种灵敏度，都将各参数的变化看作是确定性的。有时，还要考虑参数的随机变化的影响。由于元件参数的偏差，对网络函数造成的变化为：,在一定的频率范围 内，定义统计灵敏度量度：,(5-8),其中 是数学期望,当元件变化足够小时，根据式(5-5)：,(5-9),式中,(5-10a),(5-10b),于是：,(5-11),式中： 是元件偏差的协方差矩阵，如果元件偏差的变化是独立的，则互相联关系数为0， 是一个对角矩阵，并可得到：,(5-12),式中,，,(5-13),对于元件的随机偏差对网络

7、特性的影响，常用蒙特卡罗方法，用计算机进行模拟 。,第五章 有源RC网络 5.3 二阶函数,5.3.1 基本节函数,有源滤波器的基本电路是二阶电路和一阶电路，它们的传输函数是二阶函数和一阶节函数，称为基本节函数。能形成相应的高、低通等滤波器复频特性,1.一阶函数 一阶函数的一般表示式为：,(5-14),当 时， 为常数，而 ，故为一阶低通函数。而当 时， ， ，这时 为一阶高通函数。,2.二阶函数,当网络的传输函数分解成低阶函数乘积的形式时，二阶节函数是最基本的网络函数。二阶函数的一般形式可以写成：,(5-15a),或,(5-15b),式中： 、 是传输零点， 、 是传输极点，它们都是共轭复数

8、，并且,(5-16a),(5-16b),对于复数极点， 。,(5-17a),(5-17b),由(5-17b)可得,即,(5-18),称为极点频率，它是传输极点 的模， 称为极点 值，它反映了极点靠极虚轴的程度，对于确定的 、 越大， 越小，极点越靠近虚轴。对于复数极点， 在 之间。,式(5-15a)和(5-15b)中，传输函数的分子多项式和分母多项式，都是 的二阶函数，称为双二次函数。当分子多项式的系数取不同的值时，二阶节函数可以具有各种不同的特性。,5.3.2 二阶函数的类型,1.二阶低通函数,二阶低通函数的一般形式为：,(5-19),其中幅频函数,(5-20),幅频特性曲线如图5.1。当

9、时， 故 是直流增益，时， 。由图5.1可见，式(5-20)的幅频低性呈低通特性，故(5-13)是二阶低通函数。当 时，幅频特 性曲线出现峰值，其峰值频率为,(5-21),2.二阶高通函数,二阶高通函数的一般形成为：,(5-22),幅频函数为：,(5-23),当 时， ；当 时， ,当 时，,其幅频特性曲线如图5.2所示，显然这是高通函数的幅 频特性曲线， 是二阶高通函数的高频增益，当 时，幅频特性曲线具有峰值，峰值频率为：,(5-24),3.二阶带通函数,二阶带通函数的一般形式为,(5-25),幅频函数为：,(5-26),当 时， ； 当 时， 。当 时， ，故 是二阶函数在频率 处的增益，

10、其幅频特性曲线如图5.3所示，当 很大时，幅频特性曲线尖锐。 是带通函数的中心频率。,4.具有 轴传输零点的二阶函数,在式(5-15a)所表示的双二次函数中，当 时，就可写为：,(5-27),其幅频函数为：,(5-28),式(5-27)表示的二阶函数，在 处有传输零点，根据这个传输零点的分布位置，这个二阶函数可以具有低通陷滤，高通陷波和带阻等不同的特性。,(1)低通陷波,当 时，式(5-28)具有下述特性,在 处， ； 当 时， ； 当 时， 其幅频特性 如图5.4所示,这是低通陷波函数的幅频特性,在极点频率 处， ；当 较大时，在极点频率 附近出现峰值，峰值频率为：,(5-29),(2)高通

11、陷波,当在式(5-28)中，当 时，传输函数的幅频特性 具有下述特性,， 。 在极点频率 处,。,当 较大时，在 附近产生峰值，峰值频率为：,(5-30),其幅频特性曲线如图5.5所示。 由图可见，这是高通陷波函数的幅频特性,(3)二阶带阻函数 当传输零点 和传输极点 相同时，式(5-27)可写成：,(5-31),其幅频特性具有如下特点：,， ， ，图5.6是其幅频特性曲线，这是带阻函数的幅频特性。,5.在式(5-15a)中，当 ， ， 时， 式(5-15a)可与成：,(5-32),上式中，传输零点和传输极点关于虚轴对称，其幅频特性：,故式(5-32)称为全通函数,二阶全通函数的相频特性函数为

12、,(5-33),当全通网络与其它网络级联时，对网络的幅频特性不产生影响，故全通网络常用作相位均衡(也称群时延均衡)器，以改善网络的相频特性,5.3.3 二阶函数的灵敏度,对于形式为,(5-34),的二阶函数，各参数 、 、 、 和 与实现该函数的电路中的各元件有关，电路中由于各元件 产生的偏差使 产生的相对变化量为：,(5-35),上式中， 、 、 、 只与函数的形式有关，而与电路元件无关。 、 、 、 、 等项只与电路的形式有关，这些参数由电路确定。 在有源滤波器中，主要关注幅度函数的灵敏度和元件变化时对电路特性的影响。,1.幅度灵敏度和相位灵敏度,对于网络函数 ，可以写成：,对某个参数 的

13、灵敏度为：,(5-36),即,(5-37a),(5-37b),称为 对参数 的幅度灵敏度， 称为 的对参数 的相位灵敏度。,2. 灵敏度和 灵敏度,在二阶函数中， 和 对二阶函数的特性有直接影响。因此，分析 和 的偏差对函数的影响有重要意义。,由于,故：,(5-38),由上式可见， ，当 时， 所以 对 不敏感。,同样，可以求得：,(5-32),在 附近， 出现峰值，峰值点频率为：,(5-33),当 时：,由此可见，当 较大时， 很高， 的位置对 的影响很大。类似地，还可以求得,(5-34),从而,(5-35),(5-36),例5-2 对于图5.7所示的无源网络，求其 ， 对各元件的灵敏度。,解：图5.7网络的电压转移函数为：,故得 ，,和 对各元件的灵敏度为：,例5-3 图5.8是一二阶有源低通电路，其电压转移函数为:,求其 和 对各元件的灵敏度。,解：,求得：,由上述两例可以看到，无源网络的 灵敏度都很低，有源电路的灵敏度如能接近无源网络的灵敏度就可看作是低灵敏度的了。,第五章 有源RC网络 5.4 有源电路基础,5.4.1 运算放大器,运算放大器是有源网络中的主要有源器件，其符号和物理模型如图5.9所示。,在图5.9中， 是运放的输入电阻， 是运放的输出电阻， 是开环增益，对于理