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1、第一章1 误差 相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差. 解 的相对误差：由于 . , . （） 对于的误差和相对误差. = . 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4改变下列表
2、达式使计算结果比较精确：（1） （2） （3） . 解 (1) . (2) . (3) . 第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1） 插值基函数（因子）可简洁表示为 其中: .例1 n=1时，线性插值公式 ，例2 n=2时，抛物插值公式牛顿（Newton）插值公式由差商的引入，知（1） 过点的一次插值多项式为 其中 （2） 过点的二次插值多项式为 其中 重点是分段插值: 例题:1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2 解(2)： 方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： 方法二
3、. 令 由 ， ， 定A，B （称之为待定系数法） 15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.解 ， ， ， 设 ，则： 误差估计： . 第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分两种情形：1. 连续意义下在空间中讨论2. 离散意义下在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值 1. 最佳逼近多项式的法方程组设的维子空间 =span,其中 是的线性无关多项式系.对，设其最佳逼近多项式可表示为: 由 即 （*2） 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由的线性无关性，可证明正定，即上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多
4、项式. 解： 设 ， 分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。 内积 计算如下内积： , , , , , , 建立法方程组： (1) ，得： ， 于是 (2) 解得： ， ， , 于是： . 第四章1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.2: 方法好坏的判断: 代数精度l 误差分析 1.代数精度的概念定义 若求积公式 （*）对所有次数的多项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。等价定义若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。3: 误差1 等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分
5、布,系数待定利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式 2 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式 公式特点：系数和节点均待定3 分段插值多项式近似代替 （分段求积）复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之： 分段低次求积公式- 称为复化求积法两类低次（）求积公式：1. NewtonCotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式复化梯形
6、公式（）复化辛甫生公式: （每个上用辛甫生公式求积），为的中点复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：复化柯特斯公式其中，为的中点， ，为的四等分的分点l 自适应复化求积法计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步1 步2步3 判断？若是，则转步5；步4 ，转步2；步5 输出 .第五章1: 常用方法: (1).直接解法：逐步（顺序）消去法、主元素法、矩阵分解法等；(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.经典迭代法迭代法、迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等； . Krolo
7、v子空间的迭代法 根据的对称性，又分为： 对称正定- 共轭梯度法 非对称- BICG 、 GMRes(最小残量法).解一类特定背景问题的迭代法 多重网格法 2: 几类迭代法优缺点比较:3: 迭代方法目标： 求解 其中，非奇异。基本思想：把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：1 将分裂：， 其中，非奇异2 构造迭代格式 其中，称之为迭代矩阵 , 其中，为的残余向量此时，常用的迭代方法将分裂为 其中，,l Jacobi迭代方法若，迭代格式 其中 Jacobi迭代矩阵： 式可写为分量形式 . （*1）方法（*1）或称为Jacobi迭代
8、方法.GaussSeidle迭代方法若，迭代格式 其中， Gauss-Seidel迭代矩阵： 其分量形式 ,. （*2） 即，在计算新分量时，利用新值，。迭代法（*2）或称为GaussSeidel迭代方法 。l 超松弛方法(SOR)方法定义SOR方法的迭代格式如下：, （*3）称为松弛因子，即为方法. 其矩阵形式 其中， SOR法的迭代矩阵： .第七章1: 解非线性方程与方程组的方法:1. 准确方法 如：用求根公式对次的代数多项式求根。但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如： 次的代数多项式并无求根公式。2. 数值方法（实际中大多采用）基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。(1).
9、区间套法 二分法。(2).迭代法：.简单迭代法； . Newton迭代法; . 割线法; .加速算法。2: 收敛条件: 二分法无条件 简单迭代法条件: 定理1 如果 满足以下条件: 1) , ; 2) 常数 : , 使得对任意两点 ,都有 , 则: 方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.例题:2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式 （2），迭代公式 ，（3），迭代公式 ，试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？解：取的邻域来考察 (1) ，故迭代公式(1)收敛. (2) ,
10、 ， 故迭代公式（2）也收敛。 (3) , 故迭代公式（3）发散. 由于越小，越快地收敛于根 ，故（2）式收敛最快。第八章解一阶常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法2阶常微分方程边值问题的差分方法1 三类边值问题 1）第一类边值问题： ， （3.1） 。 (3.2) 2）第二类边值问题： ， （3.3） 。 (3.4) 3）第三类边值问题： ， （3.5） ， (3.6) 其中， 。2 差分格式的建立 针对方程（3.1）而言.Step 1 取 的离散节点: , 第 步步长 , 一般可取等 步长: , Step 2 将 用二阶差商、 用一阶差商近似： ， . 理由：由Taylor展开，有 两式相加得，其中， .两式相减得，其中， . Step 3 略去 项 , 并记 则由方程(3.1)有: （3.7） 所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:(3.8). (3.9)对第二边值条件(3.3),由于 其中， , , 已及 所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:(3.10) . (3.11)类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).
