《统计热力学2013统计热力学2013第四讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《统计热力学2013统计热力学2013第四讲（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲： 微观状态总数的计算 统计基本原理,1、统计方法的分类,Boltzmann 统计 Bose-Einstein (B-E) 统计 Fermi-Dirac (F-D)统计 系综理论,近独粒子体系,相依子体系,一、几点概念,2、玻尔兹曼粒子体系,近独立（ 粒子与粒子之间没有相互作用 ） 全同 （粒子具有相同的质量、电荷、自旋等） 可分辨（交换两个粒子会引起体系状态的改变） 一个量子态上粒子数不受限制,3、玻尔兹曼统计是半经典半量子的统计,半经典性 （1）粒子虽然全同，却一般视为可分辨。 （2）一个微观态上粒子数不受限制（没有考虑是否Fermi粒子，是否Pauli不相容）。,半量子性 （1）能
2、量量子化； （2）能级简并。,4. Boltzmann可近似处理不可分辨的全同粒子,在可分辨体系结果上的引入全同性修正因子（近似性）。 彻底的量子统计 由Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计给出 （严格考虑全同性及Pauli不相容原理） 在经典极限条件下，量子统计可以约化为Boltzmann统计。 Boltzmann统计具有非常重要的意义,二、宏观态与微观态（配容）,宏观态：一组充足的独立宏观参量描述的态 只有体积为外参量的单组份体系，作为整体的了解仅有（N,V,U）这3个宏观量，把任意指定（N,V,U）一组实际数值的态定义为体系的一个宏观态。 对于多组分体系，把任意指定
3、（Ni(i=1,2,),V,U）一组实际数值的态定义为 体系的一个宏观态。,微观态 能体现一个宏观态的微观状态可非常之多，每个微观态满足宏观约束 N个粒子可以有各种不同的方式分配在各个量子态或能级上，把一种分配方式称为一个配容或微观状态。,两个简单的实例 例1：设体系由3个独立的定域一维谐振子组成。 对应于总能量为9/2hv，体积为V的宏观态 即 （N,V,U）=（3,V, 9/2hv ） 的微观态有多少。,定域：可分辨，交换粒子会引起微观状态的改变， 粒子可以标号,离域：不可分辨，交换粒子不会引起微观状态的改 变，粒子是量子意义上的全同粒子,一维谐振子的能级为 满足宏观约束,总的微观状态总数
4、：10,N=4,例2:,总的微观状态总数：10,三、分布,满足宏观约束 N个粒子以一定的方式占据能级，由于粒子在运动中互相交换能量，占据方式频繁改变，呈现多种能量分布类型,实现一种分布也具有大量的微观态数 tX,一个宏观态的总微观态,+,四、一个宏观态对应的微观状态数的求算,所有可能的分布 每个分布对应的微观状态数 所有分布对应的微观状态数相加,分布,微观状态数,一个分布对应的微观状态数,1. 非简并情形 (g=1),数学问题：N个可分辨（有颜色）的球，以上述分布 占据格子的可能方式数。,把 N个不同物体分为若干堆，第一堆为N1个，第二堆为N2个.，第k堆为Nk个。问有多少种分堆方法?,结论：
5、对于非简并可分辨粒子体系，一个分布所对应的微态数,2. 简并情形 （g1）,数学问题：N个可分辨（有颜色）的球，以上述分布 占据格子的可能方式数。,把 N个不同物体分为若干堆，第一堆为N1个，第二堆为N2个.，第k堆为Nk个。进而，将在第一堆中的球放入g1个格子，第二堆中的球放入g2个格子，问有多少种分堆放格方法?,结论：对于简并可分辨粒子体系，一个分布所对应的微态总数,当非简并情形，上式约化为,例 （1）10个可分辨粒子分布于简并度为g0=1，g1=2， g2=3的3个能级上，三个能级的粒子分布数分别为N0=4，N1=5，N2=1，该分布的微观状态数为多少？ （2）若能级为非简并的，则微观状
6、态数又为多少?,解：（1）当能级为简并的，其微观状态数为,（2）当能级为非简并时，其微观状态数为,一个宏观状态对应的微观状态总数,以分布 为自变量的函数,对可分辨的粒子体系 已求得！,N很大的体系,已知分布可以求相应的微观状态 每个分布对应的微观状态数是大量的 一个宏观状态对应的可能分布非常复杂 分布可能方式数是大量的 需要引入统计原理,五、等几率原理,统计平均：统计的基本任务,统计平均： 统计力学认为宏观量并不是体系在某一时刻的某一微观运动状态的性质，而是相应微观量的统计平均值,两种统计原理 （2）长时间平均的原理 （1）概率平均的原理,长时间平均原理 宏观量是在一定宏观条件下相应微观量的长
7、时间平均值。,在求算统计平均值时 需要一个基本假定：各态遍历假说,各态遍历假说（Boltzmann）或者路程的连续性假说（Maxwell): 平衡态孤立体系从任一微观状态出发，经过足够长时间后，体系将经历对应宏观状态的所有可能的微观运动状态。,概率平均原理 认为宏观量是在一定宏观条件下所有可能达到的微观运动状态的相应微观量的统计平均值。,在确定体系微观状态的概率分布函数时 需要一个基本假定：等几率原理,等几率原理：对于一个处在平衡状态的孤立系统，当（U，V，N）宏观状态一定时，每个可能出现的微观状态的概率相同。,等几率原理： 平衡态孤立体系统计力学的基本假设,正确性只能靠实践来检验，也就是只能
8、由它的各种推论与客观实际相符而得到肯定。 是一个自然而合理的假设：既然大量的微观状态都能同样满足给定的宏观条件，而且也没有任何根据认为其中哪一个微观状态出现的概率应当更大或更小一些，这样，各个微观状态应当是平权的。,六、最可几分布,对于一宏观态，设总的微观状态数为 。根据等几率原理，每种微观状态出现的概率相等，即 分布X对应的微观状态数为 。那么分布X出现的概率为 。每种分布的概率不相等。其中，总有一种分布出现的概率最大，成为最可几分布。,热力学概率：一般把一种分布或 一个宏观状态所对应的微观状态数叫做热力学概率，如,数学概率：通常把一种分布对应的微观状态数与一个宏观状态对应的总微态数之比，称为该分布出现的数学概率，如,结论： 2, 1 , 2 , 0 , 0 , 0 2, 2, 0, 1, 0, 0 为最可几分布,
