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1、松江二中2010届高三数学第一轮复习资料8.1 平面向量的概念及运算【复习要求】1、理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量平行和垂直的充要条件. 2、会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.3、初步学会用向量方法解决简单的平面几何问题。【知识要点】1、向量的有关概念向量：既有 又有 的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小叫做向量的模（长度），记作|。零向量： ，记为 ，其方向是任意的，零向量与任意向量平行。单位向量： 。的单位向
2、量是指与方向 且模为 的向量，记作，即。平行向量（共线向量）： 。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相等向量： 。相等向量经过平移后总可以重合，记为。2、向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+=。向量加法有“ 法则”与“ 法则”。 说明：（1）； （2）向量加法满足 律与 律；3、向量的减法 负向量：与长度 、方向 的向量，叫做的负向量，记作。零向量的负向量仍是零向量。关于负向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；向量减法：向量加上的负向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。注：（1）用
3、平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1） ；（2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时，_，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。应用：两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。5、 平面向量的数量积的定义 向量的夹角：
4、已知两个非零向量，过原点O作，则AOB=（001800）叫做向量的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，=_，当且仅当反方向时= ， 垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作 。 的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则叫做的数量积（或内积），记作，即= 规定=0 非零向量 当且仅当时，=900，这时= 。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：（1）_ （2）_（3）当同向时，_；当反向时，_，特别地，。（4）_ （5）平面向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（
5、1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=(4)但是乘法公式成立： ；等等。6、平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不平行的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使 ，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基向量。【基础训练】1、化简 2、已知是两个非零向量，且则与的夹角大小为 3、若，且，若，则实数的值为 4、已知，则向量在向量上的投影为 5、设P是ABC所在平面内的一点，则 （ ）A. B. C. D.【典型例题】例1：判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4)两相等向量若起点起点,则终点也相同 (
6、5)若，则； (6)若，则(7)若四边形ABCD是平行四边形,则(8)的充要条件是且；例2、如图平行四边形的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设。例3、（1）设两个非零向量、不共线，如果, 求证：三点共线.（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.例4、已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：；（2）若，求的取值范围.例5、已知G是ABC的重心，求证：【学后反思】【巩固训练】1、已知,则是三点构成三角形的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也
7、不必要条件2、若为非零向量，且，则有 （ ）（A）且方向相同； （B）； （C） ； (D) 以上都不对。3、下列命题中，假命题为 （ ）A若，则 B若，则或C若kR，k，则k=0或 D若，则1恒成立4、一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ( ) A. 6 B. 2 C. D. 5、若，的夹角为， 则 _ _6、若向量的夹角为，,则向量的模为 7、给出下列四个命题：若，则； 与不垂直；在ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则；设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则AOC=。其中真命题的序号是 （请将你认为真命题的序号都填上）。8、已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 。9、已知梯形中，分别是、的中点，若，用，表示、【能力提升】设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域8
