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1、华 北 水 利 水 电 学 院 数项级数敛散性判别法(总结)课程名称： 高等数学（2） 专业班级：地质工程2011002班 2012 年 5月 27日 数项级数敛散性判别法(总结)摘要：本文是对数项级数敛散性的判别方法的简单归纳总结，我们学习过的数项级数敛散性有很多种，如柯西(Cauchy)判别法，拉阿贝(Raabe)判别法，狄利克雷(Dirichlei)判别法，高斯(Gauss)判别法等,进而得到一般的解题思. 关键词：数项级数 敛散性 判别方法 归纳总结 解题思路Abstract: This paper is a simple summary of a number of Converge
2、nce and Divergence of the discriminant method, we have studied a number of series convergence Divergence There are many, such as Cauchy (the Cauchy) discrimination, the La Abei (Raabe)discrimination law, Dirichlet (Dirichlei) identification method, gauss (Gauss) discrimination law, and thus be a gen
3、eral problem-solving thinking.Keywords: number of series convergence and divergence of discrimination methods to summarize the problem-solving ideas引言： 在数学中无穷级数是逼近理论的中的重要内容，其本身也是一个重要内容。而数项级数敛散性判别方法是解决无穷级数的一种重要手段，我们只要按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而判别方法又有多种，有的方法适合于一些特殊的级数，而有的方法在一些级数中简单在另一些级数中却非常的繁琐，因此在选择判
4、别方法时我们不能带有盲目性 ，拿判别方法进行实验性的解题，只为求得结果，而不管方法的简单与繁琐，如果我们对判别方法进行简单的总结，从而熟练的掌握各种判别方法，再解题时选择从简单的方法入手解出正确的答案，避免用繁琐的方法解题，这样就能提高自己在数学级数中的解题效率，我们只有对所学的判别方法的使用条件及特点熟悉后，解题思路才不会凌乱 .所以下面我将对常数项级数敛散性判别方法进行归纳总结一下.无穷级数基本概念 设是一个数列，称表达式为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为或，称为级数的通项或一般项。 下面是几个级数的例子：（1）1+2+3+4（2）1-1/2+1/3-1/4+（3）1+1/2+
5、1/4+（或）定义12.1 若级数的部分和数列收敛，即极限存在，则称级数收敛，此时称极限为级数的和，记为 或=S若级数的部分和数列发散，即极限不存在，则称级数发散。教材中常数项级数敛散性判别方法有以下几种特殊项级数 （一）等比级数（即几何级数）判别法：（1） 当时，级数收敛；且和s= （2） 当时，级数发散 （二）级数判别法：(1)当时，级数发散(2)当时，级数收敛正项级数（三） （比较判别法的极限形式）：设与是两个正项级数，若(1)当时，两级数同时收敛或同时发散；(2)当且级数收敛时，级数也收敛； (3)当且级数发散时，级数也发散；（四）比式判别法（极限形式）若为正项级数，且则 (1)当时，
6、级数也收敛；(2)当时，或时，级数发散；注：当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数与，它们的比式极限都是 但是收敛的，而是发散的.（五）根式判别法（极限形式）若为正项级数，且则(1)当时，级数收敛(2)当时，级数发散注：当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与，二者都有，但是收敛的，而是发散的.但是收敛的，而是发散的.（六）积分判别法：设是上非负递减函数那么正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散；（七）拉贝判别法（极限形式）若为正项级数，且存在，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时拉贝判别法无法判断.一般项级数（
7、八）级数若，则此级数发散.（九）柯西收敛准则级数收敛的充要条件：当 时，有： （十）绝对收敛定义法：若级数各项绝对值所组成的级数正项级数收敛，则称原级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛；（十一）莱布尼兹判别法：若交错级数满足下述两个条件：(1)数列单调递减；(2)则级数收敛.（十二）阿贝耳判别法：设级数若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛.（十三）狄利克雷判别法：设级数若单调递减，且又级数的部分和数列有界，则级数收敛.每个级数收敛的判别方法往往不是唯一的，按什么步骤判别其敛散性才能较快地得出结论呢？ (1)等比级数和级数的敛散性判别比较简单，由级数的形式就可直接看出；由，
8、即可判断，级数发散；比式判别法和根式判别法只要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者较之前者更有效（见例1），以上这些方法都比较简单，应优先考虑：比较原则需要找一个已知其敛散性的级数作比较（见例2）：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性的方法（见例3）：比式判别法和根式判别法是基于把要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数的通项收敛速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛于零的速度较慢，就必须寻找级数的通项收敛于零的速度较慢的级数作为比较标准，那么以P
9、-级数为比较标准，得到拉贝判别法（见例4）.对于一般项级数应先判别的敛散性，可按正项级数的敛散性判别方法判定，若收敛，则绝对收敛（见例5），若发散：再看是否满足交错级数的收敛条件，若满足则为条件收敛（见例6）.对于行如的级数可用阿贝尔判别法（见例7）或狄利克雷判别法（见例8）判别其收敛性，这两种方法难度都比较大，应适当选取和,最后对于任意的级数都可以用柯西收敛准则进行判断其敛散性，但繁琐，难度大，在可以使用以上方法判断时，应尽量避免使用柯西收敛准则（见例9）例1：判别级数的敛散性解：首先它不是等比级数，也不是级数，由于 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于
10、 所以 由根式判别法知原级数收敛.注：能由比式判别法判定敛散性的级数，也能用根式判别法来判断，反之不成立.例2 判别级数的敛散性解：它不是等比级数也不是级数，也无法用比式判别法和根式判别法来解题。由于 ，根据比较原则，及调和级数发散，所以级数也发散.例3 讨论级数的敛散性 解：研究非正常积分，由于当时收敛 时发散，由积分判别法级数在时收敛 时发散例4 讨论级数当时的敛散性解：无论哪一个值，级数的比式极限都有所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当时，由于所以级数是发散的.当时，由于这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，当时，由于所以级数收敛.例5的各项绝对值所组
11、成的级数是应用比式判别法，对于任意实数都有=0因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛.例6 考察级数 的敛散性.解：因为发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.例7 讨论级数 (x0)的敛散性.解：对于数列 来说，当x0时，01，显然此级数是收敛的.（下面用柯西收敛准则证明）由于=N 及任意自然数p，由上式就有由柯西收敛准则推得级数是收敛的. 结束语总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果. 在数学的学习中我们经常会遇到这样或那样的问题，只有不断的做出总结，才能在学习中得到简单的解题
12、技巧，而不让数学中的难题成为我们提高学习能力拦路虎，在对无穷极限的判别方法做出了总结后，我们就应该收获这份经验，为以后的学习或工作都养成总结的良好习惯。数学是与我们的生活息息相关的话题，对于一个给定的问题，在理论和应用中运用数学的逻辑思维和解题技巧会让我们对于这个问题有更深刻的理解，例如：一个球落地后被弹起又落下求第20次的高度(假设每次损失的能量一定)。我们解决问题的过程其实就是我们探索奥秘，得到真理的过程。 参考文献：1高等数学 上海交通大学，集美大学第三版 2011.62华东师范大学数学系编数学分析（第三版）北京大学高等教育出版社，19913数学分析习题解析下册，陕西师范大学出版社，19
13、93The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution Abstract: The article induced convergence criterions of constant term series and obtained general thinking of solution.Keywords: constant term series; convergence ， decision， methods; induction; thinking.
