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1、安徽工程大学安徽工程大学 数学建模（选修课）课程论文数学建模（选修课）课程论文 题目：水库排污问题题目：水库排污问题 摘要：摘要： 本文主要需解决的问题是：本文主要需解决的问题是：讨论由于此次事故 的发生，干流发生大面积污染的可能性，以及如何避 免该事故的发生。 针对问题一，我们只要考虑在事故发生到关闭水 库的两个小时内，流出水库的污染物的质量小于 q 3 2 吨。 针对问题二，我们只需单独计算1,2号水库的污染 情况，然后再相加就可以了。 针对问题三，建立人工水渠就是在问题二的基础 上使水库1和水库2产生联系，我们只需考虑从水库1 到水库2的情况。 针对问题四，干流已经出现了大面积污染，在一
2、 些外在条件短时间内无法干扰的情况下，我们可以采 取稀释的办法，是单位体积内的化学物质的浓度少于 危险警戒值时的浓度，这样就可以短时间内控制污染。 关键词：控制 人工水渠 稀释 姓名：殷竞存 专业：数学与应用数学 班级：数学 112 学号：3110801234 指导老师：周金明指导老师：周金明 成绩：成绩： 完成日期：完成日期：2013.6.272013.6.27 一：问题重述一：问题重述 1、 问题的背景 某条江流上有 2 条支流，每条支流上都兴建了规 模相当的水库。由于正处在雨水多发季节，因此两个 水库都以一定规模的流量进行泄洪。某天晚上 10：00，在其中的一个水库中发生了两船相撞的事故
3、， 而其中的一条船装载的 p 吨化学物质（这里的化学物 质可以是具有挥发性的，也可能是急难挥发的）全部 泄漏至水库中。当水上航运事故处置中心接获事故报 告，立即要求该水库关闭水库泄洪闸，以免化学物质 随洪水流入干流，发生更大规模的污染。水库闸门开 始关闭时，已经处在事故发生后的 1 个小时，而水库 闸门彻底关闭也需要 1 个小时的时间。 根据当地环 境监测的有关规定，干流大面积污染的危险警戒值设 为：三小时内 q 吨该化学物质发生泄漏。 2、面临的问题 (1) 试建立合理的数学模型，讨论由于此次事故 的发生，干流发生大面积污染的可能性； (2) 如果在另外的一水库中有一化工厂违规排放 废料。废
4、料中同样含有该化学物质。该工厂为躲避环 境监测站的监控，均在晚上 9：00-12：00 违规进行 周期性排放。在这种情形下，讨论由于此次事故的发 生，干流发生大面积污染的可能性； (3) 如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠 相连接，水渠中的水流流向不定，但保证两水库之间 的水流能够相互影响。那么上述结果是否会改变？请 给出说明，若有改变，则给出修正的模型及结果； (4) 如果发生了大面积污染，那么针对第三种情 况，试给出在短时间内控制污染模型。 二：问题的假设 （1）污染物为速溶物质，因此药品从船上流入水 中的时间很少，可以忽略不计； （2）污染物质从水库中一经流出就进入干流； （3）水库
5、和河流中的水流都是处于推流状态； （4）两水库事故发生条件相同，即两水库有相同 的客观条件； （5）被污染的水库关闭泄洪闸后不再有水流流入 干流； （6）不考虑生物等因素在水库泄洪过程中的作用， 污染物除了流出外不因腐烂沉积等手段从水中消 失； （7）外界因素不对水库的体积变化产生影响，例 如：雨水、地表径流、底下径流等； （8）参与模型的变量是连续变化的，并且充分光 滑； （9）不考虑从不同的渠道流入与流出水库之间的 区别，只考虑携带污染物的水流入水库和水库中 的水流出对水库污染程度的影响，因此可以把水 库看成是单流入单流出的系统。 三：符号的约定三：符号的约定 （1）：t 时刻水库水的流入
6、速度；)( 1 tr （2）：t 时刻流入水库的污染物的浓度；)( 1 tp （3）：t 时刻水库水的流出的速度；)( 0 tr （4）：t 时刻流出水库的污染物的浓度；)( 0 tp （5）：t 时刻水库中污染物的浓度；)(tp （6）：t 时刻水库水的体积；)(tv （7）：计算体积元内该污染物的增量； p m （8） ： 为时间；t （9） ： 为从水库中流出的水中的污染物的浓度；C （10） ：为水库的流出速度，即流量；Q （11）：为泄洪闸处到污染处的距离； X （12） Q：为水库的流量； （13） q：为排入河流的污水的流量； （14） ：为河流中污染物的本底浓度； 1 C （1
7、5）:为水库中的污染物的浓度； 2 C 四：模型的分析与建立四：模型的分析与建立 由问题的分析中知道，流入水库的污染物能以很 快的速度与水库中的水均匀混合，也就是说水库中的 污染状况在任何局部水体都是一样的，污染程度与水 体在水库中的位置无关，因此我们可以建立下面模型。 模型一 问题一：此次事故的发生，干流发生大面积污染的可 能性； 根据物质平衡原理和题目假设可知： 水库 1 中污染物的改变量 = 流入的污染物的量 流出污染物的量 于是对于充分小的，在时间（t，t+）内有：tt ttrtptrtptvtpttvttp)()()()()()()()( 0011 两边同除，并使0 得：tt (1)
8、 )()()()( )()()()( 0011 trtptrtp t tvtpttvttp 现假设 f(t)=p(t)v(t)得： dt d tv dt d tp dt d dt d t tfttf tptvtvtptf)()()()()( )()( )()( 即原式可以写为： (2) )()()()()()( 0011 )()( trtptrtp dt d tv dt d tp tptv 在水库 1 中发生撞船事故后，污染物处于非稳定 排放即：，而由于水库闸门的关闭也势必会引0 )( dt d tp 起水库中水的体积变化，故：。现不考虑流入0 )( dt d tv 水库中的水所含有与泄漏污染
9、物相同物质的情况而带 来的影响，即可看作，另外由问题分析中知道：0)( 1 tp 流出的污染物的浓度应与水库中污染物浓度相同，即 这样对于问题一我们可以得到求解公式：)()( 0 tptp (3) )()()()( 0 )()( trtp dt d tv dt d tp tptv 进一步我们假设从水库中流出的水的流量初始值 （从 t=0 时算起）为 ，在关闭闸门的过程中，我们 0 r 假定流量处于线性变化的趋势。这一假设是基于流量 与过流面积为线性关系上作出的，进一步可得： （4) )72003600.( 3600 2 )36000.( )( 0 0 0 0 t tr r tr tr 从上面可
10、看出为分数函数，这主要是因为水库)( 0 tr 闸门关闭是在事故发生一小时后作出的。现在有了 的变化的表达式，为了能求出的表达式。我们)( 0 tr)(tp 还要写出的表达式。首先我们假设水库的体积的)(tv 初始值为 （t=0 时） ， 值我们可以通过卫星定位系 0 v 0 v 统及所建立的模型求出（具体卫星定位系统模型见附 表） 。而跟相关的还有的值。我们假设为一)(tv)( 1 tr)( 1 tr 定值 ，则随随时间变化的关系式为： 1 r)(tv ttrtrvtv)()( 010 由于为分段函数可知：也响应的为分段函数，)( 0 tr)(tv 具体函数表达式为： (5) )720036
11、00.() 3600 2( )36000.( )( 0 010 010 tt tr rtrv ttrtrv tv 把（4）式代入（3）式可以得到： 当秒时：36000 t (6) 0 )( 01001 )()()()(rtp dt d trtrvrrtp tp 当秒时：72003600 t (7) ) 3600 2()() 3600 2() 1800 2()( 0 0 )( 0 010 0 01 tr rtp dt d t tr rtrvt r rrtp tp 对（5）式化简有： (8) 1 )( 010 )()(rtp dt d trtrv tp 通过推导的出： (9) cetp trtrv
12、 rr r )ln( 1 010 01 0 )( 有已知条件可知：，故 0 /)0(vPp10 1 00 /rr r vvpc 经简化后： 00010 /)()( 01 1 01 1 vpvtrrvtprr r rr r (10)36000 t 对（7）简化后得； ( 20 010 0 20 010 1 3600 )2( ) 3600 ( 3600 )2( )()(ln t v trrv dttr t r trrv dt rtp 11) 设，(r1-2r0)=b，得：cv 0 a r 3600 0 当acb4 2 )ln( 2 1 ) 3600 () 4 2 arctan( 4 2 )()(l
13、n 20 22 ctbta a r bac bat bac rtp (12) ) 4 2 arctan( 4 2 2 22 bac bat bac a b 设：) 4 2 arctan( 4 2 22 bac bat bac z 最后得到： (13) 1 )72005.0()ln(5.0 1 2 )(cetp zabcbtat 保持连续性，当 t=3600 时，=，此时可)3600( 1 p)3600(p 得到相应的 值，但由于不确定因素很多，故确定 1 C 不是很容易，这主要是缺少数据造成的。 1 C 当时得到（14）式acb4 2 1 )7200 2 ()ln( 2 1 1 2 )(Cet
14、p za b cbtat （14） c acbbat acbbat acb z 42 42 ln 4 1 2 2 2 同样为保持连续性，要求当 t=3600 时，=)3600( 1 p 。)3600(p 最后： )(72003600.4. )(720036004 )(36000.)( )( 2 1 )7200 2 ()ln( 2 1 2 1 )72005 . 0()ln(5 . 0 0010 2 2 01 1 01 1 stacbce stacbce stvtrrv tp za b cbtat zabcbtat rr r rr r 当 当 （15） 那么时间内流出水库的污染物的量便可表示为：t ttrtpQ)()( 0 （16） 在（s）时流出的污染物的量为：36000 t t drvpvtrrvQrr r rr r 3600 0 0000101 /)( 01 1 01 1 （17） 在（s）流出的量为：72003600 t 7200 3600 0 02 ) 3600 2()(dt tr rtpQ （18） 流出的总量： 21 QQQ （19） 再用 Q 与 2/3q 进行比较，便得出是否会发生大面积 污染。 问题二：如果在另外的一水库中有一化工厂均在晚上 9：00-12：00 违
