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1、第一章1 误差 相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6设关于精确数有3位有效数字,估计的相对误差. 对于,估计对于的误差和相对误差. 解 的相对误差:由于 . , . () 对于的误差和相对误差. = . 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4改变下列表
2、达式使计算结果比较精确:(1) (2) (3) . 解 (1) . (2) . (3) . 第二章 拉格朗日插值公式(即公式(1) 插值基函数(因子)可简洁表示为 其中: .例1 n=1时,线性插值公式 ,例2 n=2时,抛物插值公式牛顿(Newton)插值公式由差商的引入,知(1) 过点的一次插值多项式为 其中 (2) 过点的二次插值多项式为 其中 重点是分段插值: 例题:1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化):(1)-101/21-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2 解(2): 方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得: 方法二
3、. 令 由 , , 定A,B (称之为待定系数法) 15.设,求在区间上的分段线性插值函数,并估计误差,取等距节点,且.解 , , , 设 ,则: 误差估计: . 第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分两种情形:1. 连续意义下在空间中讨论2. 离散意义下在维欧氏空间中讨论,只要求提供的样本值 1. 最佳逼近多项式的法方程组设的维子空间 =span,其中 是的线性无关多项式系.对,设其最佳逼近多项式可表示为: 由 即 (*2) 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组).由的线性无关性,可证明正定,即上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求 ,的一次和二次最佳平方逼近多
4、项式. 解: 设 , 分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。 内积 计算如下内积: , , , , , , 建立法方程组: (1) ,得: , 于是 (2) 解得: , , , 于是: . 第四章1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.2: 方法好坏的判断: 代数精度l 误差分析 1.代数精度的概念定义 若求积公式 (*)对所有次数的多项式是精确的,但对 次多项式不精确,则称(*)具有次代数精度。等价定义若求积公式(*)对是精确的,但对不精确,则(*)具有次代数精度。3: 误差1 等距剖分下的数值求积公式:公式特点:节点预先给定,均匀分
5、布,系数待定利用插值多项式近似代替,即得插值型求积公式Newton-Cotes公式 2 给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式:Gauss求积公式 公式特点:系数和节点均待定3 分段插值多项式近似代替 (分段求积)复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行,类似函数插值分而治之: 分段低次求积公式- 称为复化求积法两类低次()求积公式:1. NewtonCotes型:矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型: 一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式复化梯形
6、公式()复化辛甫生公式: (每个上用辛甫生公式求积),为的中点复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式:复化柯特斯公式其中,为的中点, ,为的四等分的分点l 自适应复化求积法计算时,要预先给定或步长,在实际中难以把握因为,取得太大则精度难以保证,太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下:步1 步2步3 判断?若是,则转步5;步4 ,转步2;步5 输出 .第五章1: 常用方法: (1).直接解法:逐步(顺序)消去法、主元素法、矩阵分解法等;(2).迭代解法:构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.经典迭代法迭代法、迭代法、逐次超松弛(SOR)迭代法等; . Krolo
7、v子空间的迭代法 根据的对称性,又分为: 对称正定- 共轭梯度法 非对称- BICG 、 GMRes(最小残量法).解一类特定背景问题的迭代法 多重网格法 2: 几类迭代法优缺点比较:3: 迭代方法目标: 求解 其中,非奇异。基本思想:把线性方程组的解,化为一个迭代序列极限解关键:构造迭代序列所满足的公式:迭代格式。构造迭代格式基本步骤:1 将分裂:, 其中,非奇异2 构造迭代格式 其中,称之为迭代矩阵 , 其中,为的残余向量此时,常用的迭代方法将分裂为 其中,,l Jacobi迭代方法若,迭代格式 其中 Jacobi迭代矩阵: 式可写为分量形式 . (*1)方法(*1)或称为Jacobi迭代
8、方法.GaussSeidle迭代方法若,迭代格式 其中, Gauss-Seidel迭代矩阵: 其分量形式 ,. (*2) 即,在计算新分量时,利用新值,。迭代法(*2)或称为GaussSeidel迭代方法 。l 超松弛方法(SOR)方法定义SOR方法的迭代格式如下:, (*3)称为松弛因子,即为方法. 其矩阵形式 其中, SOR法的迭代矩阵: .第七章1: 解非线性方程与方程组的方法:1. 准确方法 如:用求根公式对次的代数多项式求根。但: 绝大多数的方程并无准确方法可用。如: 次的代数多项式并无求根公式。2. 数值方法(实际中大多采用)基本思想: 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。(1).
9、区间套法 二分法。(2).迭代法:.简单迭代法; . Newton迭代法; . 割线法; .加速算法。2: 收敛条件: 二分法无条件 简单迭代法条件: 定理1 如果 满足以下条件: 1) , ; 2) 常数 : , 使得对任意两点 ,都有 , 则: 方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.例题:2. 为求方程在附近的一个根,设将方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1),迭代公式 (2),迭代公式 ,(3),迭代公式 ,试分析每一种迭代公式的收敛性,并问哪一种迭代收敛得快?解:取的邻域来考察 (1) ,故迭代公式(1)收敛. (2) ,
10、 , 故迭代公式(2)也收敛。 (3) , 故迭代公式(3)发散. 由于越小,越快地收敛于根 ,故(2)式收敛最快。第八章解一阶常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法2阶常微分方程边值问题的差分方法1 三类边值问题 1)第一类边值问题: , (3.1) 。 (3.2) 2)第二类边值问题: , (3.3) 。 (3.4) 3)第三类边值问题: , (3.5) , (3.6) 其中, 。2 差分格式的建立 针对方程(3.1)而言.Step 1 取 的离散节点: , 第 步步长 , 一般可取等 步长: , Step 2 将 用二阶差商、 用一阶差商近似: , . 理由:由Taylor展开,有 两式相加得,其中, .两式相减得,其中, . Step 3 略去 项 , 并记 则由方程(3.1)有: (3.7) 所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:(3.8). (3.9)对第二边值条件(3.3),由于 其中, , , 已及 所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:(3.10) . (3.11)类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).