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1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1函数的最大值是 _2青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃方式有_种.3设,则的最大值为 _4设数列的前项和满足：，则通项= _5已知椭圆1(ab0)与直线交于M, N两点, 且(为原点), 当椭圆的离心率e, 时, 椭圆长轴长的取值范围是 _6对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，表示在区间上不同解的个数，则=_7在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(
2、x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1x2|y1y2|若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0x10, 0y10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _8一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9已知是实数, 二次函数满足，求证：1与1中至少有一个是的根.10设，数列满足，（1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数，11已知椭圆，过定点两条互相垂直的动直线分别椭
3、交圆于两点。分别为左右焦点，为坐标原点。 （1）求向量的最小值；（2）当向量与互相垂直时，求两点所在直线的斜率。2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_考试号：_得分：_一、（本题满分40分）如图，C为半圆弧的中点，点为直径BA延长线上一点，过作半圆的切线，为切点，的平分线分别交于点求证：以为直径的圆过半圆的圆心二、（本题满分40分）已知m，n为正整数.(1) 用数学归纳法证明：当x1时，(1x)m1mx；(2) 对于n6，已知，求证：(m=1, 2, 3, , n)；(3) 求出满足等式3n4n(n2)n(n3)n的所有正整数n.三、（本题满
4、分50分）（1）证明：存在无穷多个正整数n，使与同时为合数.（2）试判断是否存在正整数p和q，使得对于任意n2007，总有与 之一为素数？并证明你的结论。四、（本题满分50分）现有一根由颗珠子串成的项链（环行线串成）。每颗珠子上都标着一个整数，且它们的和为，求证：我们可以把这串项链绳从某处截断，使它成为一根线段上串着n颗珠子的珠串，它们的相继标号顺次为，且对一切恒有成立。2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案1、函数的定义域为1, 5，且y0, 当且仅当，等号成立，即x时函数取最大值62、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种
5、3步跳，共26种。3、, 当时, 4. ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以5. 由,可得 由得, 即, 将,代入得, 即, 因为, 得, 得, 有, 解得.6、由得：，即 或，又，则或；但两组取值可能重复。若，讨论得：时重复一组。同理对于，或，或，时重复一组。比较两种解的取值知，为公共部分，为奇数时，比多一组解，但当时重复一组。 只当时重复一组。实质只有当时，比多1个解，其余情况解相同。所以=。7. 由条件得 -当y9时，化为，无解； 当y3时，化为，无解；当3y9时，化为 -若x1，则y8.5，线段长度为；若1x6，则xy9.5，线段长度为5；若x6，则y3.5，线段长度为综上
6、可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1545(1)答图18. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面 /平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，答图2易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答图2记正四面体的棱长为，过作于 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为9、由知二次函数有零点，若二次函数只有唯一的零点，则这个零点就是
7、抛物线的顶点，有，解得，由，有，则，故抛物线的顶点横坐标为，所以与1中至少有一个是的根。若二次函数有两个不同的零点，因为： ，所以或故与1中至少有一个是的根。10、解：， 当时，即 当且时，当时，是以为首项，为公比的等比数列， ，综上所述（2）方法一：证明： 当时，； 当且时，对于一切正整数，方法二：证明： 当时，； 当且时，要证，只需证，即证，即证即证即证，原不等式成立。对于一切正整数，11、解：（1），所以=2.即最小值为当点位于短轴上顶点时，取等号.（2），所以与互相垂直，则线段为直角与直角公共斜边。设线段中点为，则，即 设直线方程为，与联立得：，由得： 又由与互相垂直知 直线与合成得：
8、，即，由得，由与解得二试一、证明：连结，因为是半圆弧的中点，是切线所以所以 因为平分所以所以四点共圆，四点共圆所以，所以四点共圆，四点共圆，所以共圆，即以为直径的圆过半圆的圆心二、解：（）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x1，且x0时，m2, (1+x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2, 右边1+2x，因为x0, 所以x20，即左边右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即(1+x)k1+kx, 则当m=k+1时，因为x1,所以1+x0. 又因为x0, k2, 所以kx20. 于是在不等式(1+x)k1+kx两边同乘
9、以1+x得：(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)x, 即当mk+1时，不等式也成立. 综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+ 与式矛盾，故当n6时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1, 2, 3, 4, 5的情形；当n=1时，34，等式不成立； 当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3时，33+43+5363，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当n
10、=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2, 3.三、证明：（1），由费马小定理：，所以，令，则 ，即时 ，为合数。又，所以由费马小定理：所以 ，即时 ，为合数。因此，只要 时，都是合数，这样的n有无穷多个. （2）不存在。，取的一个素因子 则，由费马小定理，知（*）时，即为合数。同理，取得一个素因子，则（*）时，为合数。由(*)和(*)知时与 同时为合数。四、解：对项链绳圈任意选择一个初始位置和一个旋转方向,并令其珠子上的标号依次为，由已知,设第颗珠子对应的坐标， 把第个坐标和比较,横坐标相同,纵坐标之差形成一个集合,若集合中所有值均为负数, 则命题得证. 故设其中有非负数.则在时, 必存在, 使最大, 选取达到最大值时的最大为。建立新坐标以第+1颗珠子作为新的初始位置,重新排列珠子的标号(方向依原方向不变), 所得珠子的标号依次为,，所对应的新坐标为(1,),(2,+),(3,+),(i,),(n,)(即(n,n-1)。此时，否则若存在，则，若，与为达到最大值时的最大矛盾，若，则由知：，也矛盾。所以则截断项链的位置安排在第和+1珠子之间.满足条件。
