2019版同步优化探究文数(北师大版)练习:第二章 第十节 第二课时 函数的极值与最值

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1、课时作业A组基础对点练1(2018岳阳模拟)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)Cyxex Dyx解析:A、B为单调函数,不存在极值,C不是奇函数,故选D.答案:D2设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数yxf(x)的图像可能是()解析:f(x)在x2处取得极小值,在x2附近的左侧f(x)0,当x0.在x2附近的右侧f(x)0,当2x0时,xf(x)2时,对函数f(x)a10的单调性进行研究,求导后发现f(x)在(2,e)上单调递减,在(e,)上单调递增,即函数f(x)在x2时的最小值为f(e);当x2时,f(x)(xa

2、)2e是对称轴方程为xa的二次函数,欲使f(2)是函数的最小值,则2a6,故选D.答案:D9(2018昆明市检测)已知函数f(x)若不等式af(x)b的解集恰好为a,b,则ba_.解析:由函数f(x)的解析式知,函数f(x)在(,2)上单调递减,在2,)上单调递增,f(x)minf(2)1,若a1,则不等式af(x)b的解集为x1,x2x3,x4,不合题意,所以a1,此时因为2212,所以b2,令m23m4m,解得m或m4,取b4.令22x4得x0,所以a0,所以ba4.答案:410已知函数f(x)ln x在(e,)上有极值点,则实数m的取值范围为_解析:f(x)ln xln xln x,定义

3、域为x|x0且x1,f(x),记g(x)x2(m2)x1,要使函数f(x)在(e,)上有极值点,则方程x2(m2)x10有两个不同的实根x1,x2,(m2)240,解得m0或m4.又x1x21,因为f(x)在(e,)上有极值点,不妨设x2e,所以0x1ex2,由于g(0)10,所以只需即解得me2.答案:(e2,)11设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(2)当a0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)0.解析:(1)由题意知f(x)exa0对xR均成立,且ex0,故a的取值范围为a0.(2)证明:当a0时,由f(x)exa可得,函数f(

4、x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1,则g(a)ln a,故当a(0,1)时,g(a)0,当a(1,)时,g(a)0,从而可知g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,且g(1)0,故g(a)g(1),即g(a)0.12已知函数f(x)ax21(a0),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a3,b9时,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围解析:(1)f(x)2ax,g(

5、x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1)且f(1)g(1),即a11b且2a3b,解得a3,b3.(2)记h(x)f(x)g(x),当a3,b9时,h(x)x33x29x1,所以h(x)3x26x9.令h(x)0,得x13,x21.h(x),h(x)在(,2上的变化情况如下表所示:x(,3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为28;当3k2时,函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此k的取值范围是(,3B组能力提升练1已知函数f(x)x3ax2bxc

6、,下列结论中错误的是()A存在x0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)0解析:若yf(x)有极小值点,则其导数yf(x)必有2个零点,设为x1,x2(x10,可得x1,令f(x)0,可得3x1,函数f(x)的单调递增区间为(,3),(1,),单调递减区间为(3,1)t3,1,x1,x2t,t2,f(3)4e3,f(1)0,f(1)4e,f(x)maxf(1)4e,f(x)minf(1)0,|f(x1)f(x2)|的最大值为4e,故选B.答案:B3若函数f(x)x32ax23b

7、x3b在(0,1)上存在极小值点,则实数b的取值范围是()A(1,0 B(1,)C0,) D(1,)解析:若函数f(x)x32ax23bx3b在(0,1)上存在极小值点,则f(x)3x24ax3b在(0,1)上有两个零点或一个零点在(0,1)上,一个零点在(,0上当导函数f(x)的一个零点在(0,1)上,一个零点在(,0上时,需满足必会存在a使得f(1)0,所以当b0时,函数f(x)x32ax23bx3b在(0,1)上存在极小值点;当导函数f(x)在(0,1)上有两个零点时,即可得1b0.综上,b(1,)故选B.答案:B4设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 016),则函数f(

8、x)的各极小值之和为()A BC D解析:f(x)2exsin x,x(2k,2k2)(kZ)时,f(x)0,f(x)单调递增,故当x2k2(kZ)时,f(x)取极小值,其极小值为f(2k2)e2k2(kZ),又0x2 016,f(x)的各极小值之和Se2e4e2 016,故选A.答案:A5(2018云南五市联考)直线xa(a0)分别与曲线y2x1,yxln x交于A,B两点,则|AB|的最小值为_解析:设A(a,yA),B(a,yB),则yA2a1,yBaln a所以|AB|yAyB|a1ln a|.令f(a)a1ln a,则f(a)1,所以函数f(a)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,于是当a1时,f(a)取得最小值2,即|AB|min2.答案:26(2018长沙市模拟)在半径为R的圆内,作内接等腰ABC,当底边上的高h(0,t时,ABC的面积取得最大值,则t的取值范围为_解析:令等腰ABC的底边为2x,则x2R2(hR)22hRh2,又Sxh,令f(h)h2(2hRh2),0h2R,求导得f(h)2h2(3R2h),令f(h

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