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1、2016随机过程（A）解答1、（15分）设随机过程，是相互独立服从正态分布的随机变量。1) 求的一维概率密度函数；2) 求的均值函数、相关函数和协方差函数。3) 求的二维概率密度函数；解：由于，是相互独立服从正态分布的随机变量，所以也服从正态分布，且： 故： (1) 的一维概率密度函数为： (2) 的均值函数为：；相关函数为： 协方差函数为：（3） 相关系数：的二维概率密度函数为：2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:0014:00之间无顾客到达商
2、店的概率是多少？在10:0014:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到07时，则顾客的到达速率函数为：在10:0014:00之间到达商店顾客数服从泊松分布，其均值：在10:0014:00之间无顾客到达商店的概率为：在10:0014:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学
3、期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数是一个强度的泊松过程，第户的人口数是相互独立同分布的随机变量，在周内移民到该地区人口数：是一个复合泊松过程，的分布为：由公式：可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：（1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。（2） 求两步转移概率矩阵及当零时刻初始分布为：时，经两步转移后的绝对分布。解：（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布满足：解得：故平稳分布各状态的平均返回时间：（1）已知初始分布：，所以经两步转移后的绝对分布为：5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），
4、开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。解：设红灯为状态1，绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布满足：解得：故平稳分布路口遇红灯的极限概率为红灯和绿灯状态的平均返回时间：6、（15分）设马尔可夫链的状态空间，转移概率矩阵为：（1）试对状态进行分类，并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。解：马尔可夫链的状态空间可以分解为和的并。其中为非常返状态；为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在
5、平稳分布。对于，转移概率矩阵为：，其平稳分布满足：解得：故的平稳分布各常返状态的平均返回时间：7、（10分）一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻质点位于这三个点之一，则在内，它都以概率 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率及平稳分布。解：质点随机游动t时刻的位置是一个马尔科夫过程，其状态空间：，矩阵元素为： ，（其中约定状态：0=3，4=1）即： 柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：由于：得到：解此一阶线性微分方程得：，C为待定常数。又因：故转移概率为：平稳分布为：8、（10分）设随机过程，其中是服从区间上的均匀分布的随机变量。试回答：是否为（宽）平稳过程？研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解：故所以，是（宽）平稳过程。故的均值函数具有各态历经性。故的相关函数具有各态历经性。
