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1、2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若有理数a、b 满足 ，则等于【 】（A） （B）1 （C）0 （D）无法确定【答】A第2题图解：因为a、b都是有理数，且，所以,且，得，所以 2. 如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠（相邻的两个面垂直）成正方体后，重叠的两个面所标数字是【 】（A）1和7 （B）1和6 （C）2和7 （D）2和6 【答】B解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5
2、、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B第3题图3. 如图，在四边形ABCD中，ADBC， BD平分ABC交AC于点O，AE平分CAD交BD于点E，ABC=，ACB=，给出下列结论：DAE=；AEB=；ACD=其中一定正确的有【 】（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个【答】B解：（1）ADBC，DAE=，正确；（2）ADBC，AODCOB，正确；（3）AEB=DAE+ADB=DAE +CBD=，正确；（4）BAC=，只有当ABDC时，ACD=才能成立不正确.综上，应选B.第
3、4题图O阿 Ayxl1l2CB4如图，直线l1、l2相交于点， l1、l2 与x轴分别交于点和，则当时，自变量x的取值范围是【 】（A） （B） （C） （D）【答】C解：由图象可知当时，当时，所以当时，. 故应选C5关于x的不等式的解集为，则a应满足【 】（A） （B） （C）a1 （D）a1【答】B 解：由，得，由不等式的解集为，知，第6题图所以，得故应选B6如图的象棋盘中，“卒”从A点走到B点，最短路径共有【 】（A）14条 （B）15条（C）20条 （D）35条【答】D 解：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P、Q的最短路径条数
4、分别为2和3. 以此类推，到达点B的最短路径条数为35条. 选D.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）第8题图7计算： 【答】解：原式=8如图是三个反比例函数，在x轴上方的图象，则、的大小关系为 【答】解：由图象可知为负数，、为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然点在点的正下方，所以，又为负数，所以9有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是 【答】解：摸出的2个球都是黑球的概率是，所以摸出的球颜色一样的概率是.10如图，点C是线段AB上一个动点，A=B=30，ADC=BEC=9
5、0，若AB=8cm，则CD+CE= cm【答】4解：在RtADC中，A=30，得，同理,所以( cm)11关于x的方程的两实数根之积等于，则的值是 【答】4解：由题意得，解得，当时，原方程无实数根，当时，原方程有两个不相等的实数根，所以.12计算： . 【答】解：令，则原式=.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列，则（a、b、
6、c是正整数） 4分由，得 因为c为正整数，可令 所以（m是正整数） 将代入，得 7分因为b为正整数，可令 所以（n是正整数） 将代入，得 11分 （n是正整数）.当n=1时，y有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. 14分14如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E（A、B两点除外），过E、B、C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G（1）求证：四边形EFCH是正方形；（2）设BE=x，CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值【答案】（1） E、B、C、H、F在同一圆上，且EBC=90， EHC=90，EFC=902
7、分又 FBC=HBC=45， CF= CH4分 HBF +HCF=180，HCF=906分 四边形EFCH是正方形8分（2） GHB +GCB=180， GHB=90，由（1）知CHE=90， CHG +CHB=EHB+CHB CHG =EHB CG=BE=x， DG=12分 CGH 中，CG边上是高为 15分当x=时，y有最大值16分15. 数学活动课上，李老师出示了问题：已知，如图，在ABC中，BAC=45，AB=AC，ADBC，垂足为D，设BD=a，用含有a的式子表示AD的长. 经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图，作DAE=45，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CFAE于
8、点F通过证明ABDACF，得到CF=a，进而推出CE=，所以AD=DE=CD+CE=在此基础上，李老师又提出了如下问题：已知ABC中，BAC=45，ABAC，AD是BC边上的高，设BD=a，CD=b，求AD的长. 请你画图并解答这个问题【答案】（1）当ACB为直角时，ABC为直角三角形，b=0，AD=AC=BD=a2分（2）当ACB为锐角时，如图，作DAE=45，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CFAE于点F则CEF和ADE都是等腰直角三角形. 设，. 则. . 4分 FAC+CAD =45，DAB+CAD =45， FAC =DAB.又 AFC =ADB=90，FACDAB. 6分 即 解得 .8分, . 10分整理得 .解得（舍去）. 12分（3）当ACB为钝角时，如图，作DAE=45，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CFAE于点F与（1）中的求法类似，可设，则.同（1）中的理由，得FACDAB ，., . 16分整理，得 ，解得17分综上，AD的长为a 或或或18分
