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1、 第十一章 曲线积分与曲面积分南华大学高数练习册第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式中要求 （C） . （A） （B） （C） (2) 设光滑曲线的弧长为，则 （B） .（A） （ B） （C） 2.计算下列对弧长的曲线积分：(1)，其中为I） 以为顶点的三角形的边界；II）上半圆周；解：I）II）(2)，其中为上点与点之间的一段弧；解：*(3) ，其中为螺旋线；解：*(4) ，其中为；解：L的极坐标方程为，则。第二节 对坐标的曲线积分1填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式=中，下限对应于的 始 点，上限对应于的 终 点；(
2、2) 第二类曲线积分化为第一类曲线积分是 ，其中为有向光滑曲线在点处的 切向量 的方向角.2选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B） （A）无关， （B）有关；(2) 若，在有向光滑曲线上连续，则 （A） （A） ，（B）.3计算下列对坐标的曲线积分：(1)，其中为从点经上半圆周到点的一段弧；解：L的方程为，则(2) ，其中为上从点到点的一段弧；解：。(3) ，其中为与所围成区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：, , 则*(4)，其中为从点到点，沿着I）直线段； II）有向折线，这里的、依次为点、；解：I）的参数方程为，则原式=II）OA: , ; AB: ,; BC: .原式
3、=第五节 对坐标的曲面积分1. 选择题(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B） （A）无关 （B）有关(2) 已知存在，则+ （A） （A） （B）2. 计算下列对坐标的曲面积分：(1) ，其中为曲面在第一卦限部分的上侧.解：由知，在xoy面的投影区域为：，(2)，其中为在第一卦限的部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.解：由已知得，平面与x,y轴的夹角也为锐角，在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故原式=。*3把化为对面积的曲面积分，其中为平面第一卦限部分的上侧.解：因取上侧，故法向量与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为 从而第六节 Gauss公式 *通量与散度1. 利用高斯公式计算下列曲面积分：(1) ，其中为平面围成的立方体的表面外侧；解：由Gauss公式，得原式=。(2) ，其中由所围空间闭区域的整个边界曲面的外侧；解：由Gauss公式，得*(3) ，其中为上半球面的上侧；解：设为的下侧，与围成的闭区域为，由Gauss公式，得，而，故原式=29
