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1、新希望学校培训资料平面与平面垂直的判定与性质教学重、难点：1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。教学内容：要点一、二面角1二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2 二面角的求法与画法棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角. 有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P AB Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P l Q.3计算二面角大小的方法 （1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形
2、求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。 作二面角的平面角常用下列三种方法： 用定义作二面角的平面角在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。 用三垂线定理作二面角的平面角从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题
3、的关键。 用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。 （2）面积法如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为，则。3 二面角的平面角如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是0，180（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.例1如图，PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值
4、 分析 由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角 解 PC平面ABC 平面PAC平面ABC，交线为AC作BDAC于D点，据面面垂直性质定理，BD平面PAC，作DEPA于E，连BE，据三垂线定理，则BEPA，从而BED是二面角BPAC的平面角 设PCa，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，例1如图过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=ABa 求(1)二面角BPCD的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小 分析二面角BPCD的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角
5、“无棱”须找二面角的棱 解 (1) PA平面ABCD，BDAC BDPC(三垂线定理) 在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即BED是二面角BPCD的平面角 在RtPAB中，由PAAB=a (2)过P作PQ AB，则PQ平面PAB， ABCD PQCD，PQ平面PCD 平面PAB平面PCD于PQ PAAB，ABPQ PAPQ PA平面ABCD，CDAD CDPD(三垂线定理的逆定理) PQCD PDPQ 所以APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角 PAAB=AD，APD=45 即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45. 评注 在求无棱二
6、面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角要点二、平面与平面垂直的判定1平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作.2两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.例3过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90。 求证：平面ABC平面BSC。 证法一： 作AD平面BSC，D为垂足。 ASB=ASC=60，SA=SB=SC，则AS=AB=AC， D为BSC的外
7、心。又BSC=90， D为BC的中点，即AD在平面ABC内。 平面ABC平面BSC。 证法二：取BC的中点D，连接AD、SD，易证ADBC，又ABS是正三角形，BSC为等腰直角三角形， BD=SD AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知ADSD， AD平面BSC。又AD 平面ABC， 平面ABC平面BSC。 评注 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。例3已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将
8、ABE折起至ABE的位置，使AC=AD。 （1）求证：平面ABE平面BCDE； （2）求AC和平面BCD所成角的大小。 要点三. 两个平面垂直的性质两个平面互相垂直时有下面两个性质：1 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。2 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用例3 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.证明：设O所在平面为，由已知条件，PA，BC在内，所以PABC.因为点C是圆周上不
9、同于A、B的任意一点，AB是O的直径，所以，BCA是直角，即BCAC.又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条直线.所以BC平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC平面PBC.1. 正方体ABCD-A1B1C1D1 中，平面ABC1D1与正方体的其他各个面所成的二面角的大小分别为多少？（）2如图，已知AB平面BCD，BCCD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC面BCD面ABD面BCD面ACD面A1下列命题中正确的是 。如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直；两直线a,b平行，由a可得出b。2如右图，PA平面ABC，BCAC，求证：。ACBDA1C1B13.如右图所示，在三棱柱中，平面，是的中点。求证：平面。4.已知正四面体ABCD中，各棱长均为2，E为AD的中点。（1）求AD与平面BCD所成的角的正弦值；（2）求EC与平面BCD所成的角的正弦值大小。（提示：作BC中点F，找到底面的重心O）心在那里 新的希望就在那里5如右图，正方形所在平面且，分别是的中点。 （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小。（3）求证：； （4）求证：平面。
