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1、实用标准文案高三数学单元测试卷(九)第九单元简单几何体，交角与距离(时量:120分钟150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A18对 B24对 C30对 D36对2一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为ABCD3设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为A B C D4如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，
2、则该多面体的体积为A BC D5设、为平面，为直线，则的一个充分条件是ABC DA1CBAB1C1D1DO6如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为A B CD 7不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A3个B4个 C6个 D7个8正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、C1D1的中点，则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正弦为A BC D9在空间直角坐标系Oxyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为A2BC2D
3、10将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 AB2C4D答题卡题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在横线上11正三棱锥PABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是_ 12如图，PA平面ABC，ABC90且PAABBCa， 则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_13已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60，则这个球的表面积与球的体积之比是 14下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三
4、棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）15在正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，则 四边形BFD1E一定是平行四边形 四边形BFD1E有可能是正方形 四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
5、骤16(本题满分l2分) 在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小17（本题满分12分）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别是2和6，高为的等腰梯形将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2ABCDOO1ABOCO1D（）证明ACBO1；（）求二面角OACO1的大小18（本题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PAAB1，BC2 （1）求证：平面PDC平面PAD； （2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；PABCDE （3）在BC边
6、上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由19（本题满分14分）ABCA1C1FEB1如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F 求证：平面A1EF平面B1BCC1；求直线AA1到平面B1BCC1的距离；当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等20(本题满分14分)如图直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.CBAOSyxz求的
7、大小（用反三角函数表示）；设OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；O到平面SBC的距离.设 . 异面直线SC、OB的距离为 .（注：只要求写出答案）21(本题满分14分) 直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACBa，BCA90，AA12a，M、N分别是A1B1、AA1的中点 （I）求的长； （II）求cos； （III）求证：A1BC1M简单几何体，交角与距离参考答案一、选择题题号12345678910答案CDCAABD ACC二、填空题113；12；13； 1415三、解答题16证明：（）作AD的中点O，则VO底面ABCD1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，2分则
8、A（，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（，0，0），V（0，0，），3分由4分5分又ABAVAAB平面VAD6分（）由（）得是面VAD的法向量7分设是面VDB的法向量，则9分，11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为12分17解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（
9、I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=即二面角OACO1的大小是ABOCO1D图4F E解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在
10、平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是18解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，)，P(0，0，1)(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，1)，(0，1，) ，(1，2，1)，(1) 平面PDC平面PAD5分(2)cos，所求角的余弦值为9分(3)假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG
11、x，则G(1，x，0)，作DQAG，则DQ平面PAG，即DQ12SADGS矩形ABCD，22，又AG，x2，故存在点G，当BG时，使点D到平面PAG的距离为114分19解：CC1BB1，又BB1A1E，CC1A1E，而CC1A1F，CC1平面A1EF，平面A1EF平面B1BCC14分作A1HEF于H，则A1H面B1BCC1，A1H为A1到面B1BCC1的距离，在A1EF中，A1EA1F，EF2，A1EF为等腰Rt且EF为斜边，A1H为斜边上中线，可得A1HEF19分作A1G面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是BAC的角平分线，A1G112分cosA1AG，sinA1AG，A1A114分20解：（）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）4分（）7分， ； 14分21以C为原点建立空间直角坐标系（I）B(0，a，0)，N(a，0，a)，4分（II）A1(a，0，2a)，C(0，0，0)，B1(0，a，2a)，(a，a，2a)，(0，a，2a)，a0
