复习专题15--排列组合

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1、复习专题10-排列组合 不务正业收集、整理、点评排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法3.分类计数原理分步计数

2、原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,

3、应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有也可以这样理解，这6个数字共可排尾数是奇数的5位数有：从最后一位开始排C(3,1)*C(5,1)*C(4,1)*C(3,1)C(2,1)=360，但最一位是0的数要减掉。也就是要减掉由12345这几个数字组成的4位奇数，从最后一位数开始排：C（3,1）*C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)=72，最后结果为：360-72288 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的

4、要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题

5、:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 解：将命中的四枪中的三枪捆绑在一起，组成复合元，这样就将命中的4枪分成了两组，未射中的4枪，形成5个空，在这5个空中，任取两个空，将这两个复合元放进去即可，共有A52=5*4=20；也可用插空法，未射中的4枪，形成5个空，第一次插入时有5种插法，形成6个空，但第二次插入时，不能与第一次插入的相邻，所以，第二次只有4种插法，所共有5*4=20，结果是一样的。三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共

6、有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30原来5个节目共形成6个空，将新增加的2个节目插入这6个空中，则有A=30；或者可以用隔板法，但要注意，第二次插入的节目与第一次插入的节目不能相邻。原来5个节目，共形成6个空，则第一次放“隔板”时，共有6种插法，形成7个空；第二次放“隔板”时，由于不能与

7、第一次放的“隔板”相邻，所以共有5种放法。则，共有6*5=30种，结果是一样的。四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 实际上是平均分组的问题 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 当四人坐好后，甲乙丙的位置也就确定了。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 不能。 （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共

8、有 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 分析：任意取5人，剩下5人，都可以从高到矮进行排列，则有种取法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种练习题：1 某班新年联欢会原

9、定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有注释:坐在圆上，就是指通过旋转而能重合的排列都作为一种排列看待如ABCDEFGH与BCDEFGHA与CDEFGHA。与

10、HABCDEFG这8个都都是算作一个排列的，所以要除以8练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前4个位置特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 将2排合并成一排，共有2

11、3个座位，前排3个位置不能坐，则共有A=380种，这当中包含两人相邻的情况，共有19种相邻的座位，对应着38种坐法，因为两人的位置可以互换。但这时，已多减了一部分，因为前排中间3个位置（即5、6、7三个位置）两边的4号位与8号位，不可能相邻，符合题意；第11号位与12位也不可能相邻，符合题意，所以就将这两个多减的组合再找回来，实际应该减去19-217种相邻的座位，对应着34种坐法。最后结果为380-34346种。八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.注意与例10比较。解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再

12、把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种 C* C*A =192九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.小集团排列问题中，先整体后局

13、部，再结合其它策略进行处理。分析：上面的解法好像有问题，可以这样考虑：因为恰有两个偶数夹1，本题只有两个偶数2、4，所以两偶数夹1的排列有A（2.2）；分别为214或412，又因为5在两个奇数之间，所以考虑将214或412组成一个整体与3进行排列，在A（2.2）*A（2.2），至此已形成：214 3；3 214 ；412 3；3 412；这四种排列，又5在两奇数之间，所以对于每种情况，5有两个位置可放，所以：2*A（2.2）*A（2.2）8练习题：.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

14、4幅油画看成一个整体，5幅国画看成一个整体，与水彩画共3个“元素”，由于水彩画不能挂两端，故只有一种挂法，油画与国画有A种挂法，但水彩画、国画本身内部有排序要求，分别为A与A，故最后后共有：1* A* A*A2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略使用插板法有2个要求：元素相同;每组中至少分一个元素。如果题目中的要求不符合其中一项，可将题目变形，使题意符合这2个要求，再使用插板法。一、直接使用插板型例1、把9个相同的苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种?()(2010年河南政法干警考试A卷第41题)A.30B.40C.50D

15、.60答案：D。该问题用分类计数法较复杂，但可以将9个苹果排成一行,9个苹果中间就出现8个空挡，再用,4个挡板把9个苹果分成有序的5份，每个人就依次按序分到对应的n个苹果(可能是1个2个3个4个、5个)。即在8个空挡中插入4个挡板，由4个挡板把球分成5份,共有C84种方法。在这道题目中，直接符合了使用插板法的2点要求：(1)每个苹果都相同;(2)每个人都至少拿到1个苹果。思考：有人会这样想C*A。问题出在哪呢？分组时，实际上已包含顺序了，否则，像11115与11511就是一种分法了，正是因为对应着不同的人，才认为他们是不同的分法。二、允许空组型例3、6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种分配方法?注意，本题 未强调每个小朋友至少一个苹果。A.16B.20C.24D.28答案：D