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1、7-1 第一章习题解答第一章习题解答 1-3 一粒子按规律593 23 tttx沿 x 轴运动，试分别求出该粒子沿 x 轴正向运动；沿 x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔 解 由运动方程593 23 tttx可得 质点的速度 133963 d d 2 tttt t x v （1） 粒子的加速度 16 d d t t v a （2） 由式（1）可看出 当3st时，0v，粒子沿 x 轴正向运动； 当3st 时，0v，粒子沿 x 轴负向运动 由式（2）可看出 当1st 时，0a，粒子的加速度沿 x 轴正方向； 当1st 时，0a，粒子的加速度沿 x 轴负方向 因为粒子的加速度与速度同方向时
2、，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当s3t或 1s0 t间隔内粒子加速运动，在3s1st间隔内里粒子减速运动 1-4 一质点的运动学方程为 2 tx ， 2 1 ty （S1） 试求： （1）质点的轨迹方程;（2） 在2ts 时，质点的速度和加速度 解 （1） 由质点的运动方程 2 tx （1） 2 1 ty （2） 消去参数 t，可得质点的轨迹方程 2 1xy （2） 由（1） 、 （2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t t x v2 d d x 12 d d y t t y v 所以 jijiv122 yx ttvv （3） 2 d d 2 2 x
3、t x a 2 d d 2 2 y t y a 所以 jia22 （4） 把2st代入式（3） 、 （4） ，可得该时刻质点的速度和加速度 jiv24 jia22 1-5 质点的运动学方程为tAxsin，tBycos，其中 A、B、为正常数，质点的轨 道为一椭圆试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心 证明 由质点的运动方程 tAxsin （1） tBycos （2） 对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度 tA t x asin d d 2 2 2 x tB t y ac o s d d 2 2 2 y 7-2 所以加速度矢量为 rjia 22 cossintBtA 可得加速度矢量恒指向原点椭
4、圆中心 1-6 质点的运动学方程为jir 2 22tt （SI） ， 试求： （1） 质点的轨道方程； （2） 2st 时质点的速度和加速度 解 （1） 由质点的运动方程，可得 tx2 2 2ty 消去参数 t，可得轨道方程 2 4 1 2xy （2） 由速度、加速度定义式，有 jirvtt22d/d jra2d/d 22 t 将2st 代入上两式，得 jiv42 ja2 1-7 已知质点的运动学方程为trxcos，trysin，ctz ， 其中 r、 c 均为常量 试 求： （1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式 解 （1） 质点的运动方程 trxc o s
5、（1） trysin （2） ctz （3） 由（1） 、 （2）消去参数 t 得 222 ryx 此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆 由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动 综上可知，质点绕 z 轴作螺旋线运动 （2） 由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度 tr t x vsin d d x tr t y vcos d d y c t z v d d z 所以 kjikjivctrtrvvvcossin zyx 由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 tr t
6、x axcos d d 2 2 2 tr t y ays i n d d 2 2 2 0 z a 7-3 所以 jikjiatrtraaasincos 22 zyx （3） 由式（1） 、 （2） 、 （3）得运动方程的矢量式 kjikjircttrtrzyxsincos 1-8 质点沿 x 轴运动，已知 2 28tv，当8ts 时，质点在原点左边 52m 处（向右为 x 轴正向） 试求： （1）质点的加速度和运动学方程； （2）初速度和初位置； （3）分析质点的 运动性质 解 （1） 质点的加速度 ttva4/dd 又 txv/dd 所以 tvxdd 对上式两边积分，并考虑到初始条件得 tt
7、x tttvx 8 2 852 d28dd 所以 3 .457 3 2 8 3 ttx 因而质点的运动学方程为 3 3 2 83 .457ttx （2） 将0t代入速度表达式和运动学方程，得 m/s8028 2 0 v m3 .4570 3 2 083 .457 3 0 x （3） 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s，初位置为3 .457m. 1-9 一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为xa62物体在0x处的速度为 sm10，求物体的速度与位置的关系 解 根据链式法则 x v v t x x v t v a d d d d d d d d xxxavvd62dd 对上
8、式两边积分并考虑到初始条件，得 xv xxvv 010 d62d 故物体的速度与位置的关系为 10046 2 xxv sm 1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bvga，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数设0t时物体的初速度为零 （1）试求物体的 速度随时间变化的关系式； （2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? 解 （1） 由 t v a d d 得 t Bvg v d d 两边分别积分，得 tv t Bvg v 00 d d 7-4 所以，物体的速率随时间变化的关系为： Bt e B g v 1 （2） 当0a时 有 0Bvga（或以
9、t代入） 由此得收尾速率 B g v 1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速kya，k 为常数，y 是离开平衡 位置的坐标值设 0 y处物体的速度为 0 v，试求速度 v 与 y 的函数关系 解 根据链式法则 y v v t y y v t v a d d d d d d d d yavvdd 对上式两边积分 y y y yv ykyyavv 000 ddd v 即 2 0 22 0 2 2 1 2 1 yykvv 故速度 v 与 y 的函数关系为 22 0 2 0 2 yykvv 1-12 一艘正以速率 0 v匀速行驶的舰艇， 在发动机关闭之后匀减速行驶 其加速度的大小与 速
10、度的平方成正比，即 2 kva， k 为正常数试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x 距离时 速度的大小 解 根据链式法则 x v v t x x v t v a d d d d d d d d v a v xdd 对上式两边积分 v v v v x kv v v a v x 00 d dd 0 化简得 0 ln 1 v v k x 所以 kx evv 0 l-13 一粒子沿抛物线轨道 2 xy 运动，且知sm3 x v试求粒子在m 3 2 x处的速度和加 速度 解 由粒子的轨道方程 2 xy 7-5 对时间 t 求导数 xy 2 d d 2 d d xv t x x t y v （1） 再对时间
11、t 求导数，并考虑到 x v是恒量 2 x y 2 d d v t v a （2） 把m 3 2 x代入式（1）得 sm43 3 2 2 y v 所以，粒子在m 3 2 x处的速度为 sm543 222 x 2 x vvv 与 x 轴正方向之间的夹角 853 3 4 arctanarctan 0 x y v v 由式（2）得粒子在m 3 2 x处的加速度为 22 sm1832a 加速度方向沿 y 轴的正方向 1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为 0 v，轨迹 为一抛物线 （如图所示） 试分别求抛物线顶点A及下落点B 处的曲率半径 解 物体在A点的速度设为 A v，法向加速度为 nA
12、a，曲率 半径为 A ，由题图显然有 cos 0A vv （1） nA a=g （2） An A 2 A a v （3） 联立上述三式得 g v 22 0 A cos 物体在 B 点的速度设为 B v，法向加速度为 nB a，曲率半径为 B ，由题图显然有 0B vv （4） cos nB ga （5） 7-6 nB B 2 B a v （6） 联立上述三式得 cos 2 0 B g v 1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处，速度的大小为 v，其方向与水平 线的夹角为 0 30，求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径 解 设 A 点处物体的切向加速度为 t a，法向加速度
13、为 n a，曲 率半径为，则 nt aag 由图知 gga5 . 030sin 0 t 2/330cos 0 n gga 又 n 2 a v 所以 g v g v a v 3 32 2/3 22 n 2 1-16 在一个转动的齿轮上， 一个齿尖P沿半径为R的圆周运动， 其路程随时间的变化规律 为 2 0 2 1 bttvs，其中 0 v和b都是正常量求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小 解 设时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度 t a，法向加速度 n a，则 R btv R v a b t v a btv t s v 2 0 2 n t 0 )( d d d d 所以，t时刻齿尖P的加速度为 2 4 022 n 2 t )( R btv baaa 1-17 火车在曲率半径 R400m 的圆弧轨道上行驶 已知火车的切向加速度2 . 0 t a 2 sm， 求火车的瞬时速率为sm10时的法向加速度和加速度 解 火车的法向加速度 2 22 n sm25. 0 400 10 R v a 方
