《高中立体几何典型500题及解析(二)(51-100题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中立体几何典型500题及解析(二)(51-100题)（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(二)(51100题)51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N作NEAM交DM于E，则CNE 为AM与CN所成的角。 N为AD的中点, NEAM省 NE=AM且E为MD的中点。设正四面体的棱长为1，则NC= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0, ) 异面直线AM与CN所成角的余弦值为.注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在C
2、EN外计算CE、CN、EN长，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG 在BCD中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可
3、得 cosFGE=，故FGE=120。 另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60。53. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1与BD所成的角的余弦解一：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OFAC1且OF=AC1，所以FOB即为AC1与DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosOB=解二：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即AC1与DB所成的角。解三：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平
4、行四边形AEBD，所以EAC1即为AC1与BD所成的角连EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为54. 已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，解析：设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则有。在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）由SA平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，设异面直线SC与AB所成角为，则 ，由 得 ，
5、 ， ， 即异面直线SC与AB所成角为 。55. 已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。（略去了该题的2，3问）解析： 设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影， ， ，由题意 ， 。又 ， 从而CH为的平分线，又四边形ABCD是菱形， 与BD所成角为， 即56. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的大小。解析： 连接BF、EF，易证AD平面BFC， EF为AE在平面BFC内的射影，设AE与CF所成角为， ，设正四面体的棱长为，则 ，显然 EFBC， ， ， ， ， 即AE与CF所成角为 。57. 三棱柱，平面平面OAB，
6、且，求异面直线与所成角的大小，（略去了该题的1问）解析： 在平面内作于C ，连，由平面平面AOB， 知，AO平面， ， 又 ， BC平面， 为在平面内的射影。设与所成角为，与所成角为， 则，由题意易求得 ， ，在矩形中易求得与所成角的余弦值：， ，即与所成角为 。58. 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析： 过空间一点P作，则由异面直线所成角的定义知：与的交角为，过P与，成等角的直线与，亦成等角，设，确定平面，交角的平分线为，则过且与垂直的平面（设为）内的任一直线与，成等角（证明从略），由上述结论
7、知：与，所成角大于或等于与，所成角，这样在内的两侧与，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P与，成的直线有且只有2条，故选（B）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）A.异面或平行 B.相交C.异面 D.相交或异面解析：D 61. 在正方体ABCD-ABCD中,与棱AA异面的直线共有几条（ ）A.4 B.6
8、C.8 D.10解析：A62.在正方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）A.48对 B.24对C.12对 D.6对解析：B棱AA有4条与之异面,所以,所有棱能组成412=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63. 正方体ABCD-ABCD中,异面直线CD和BC所成的角的度数是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为6064.异面直线a、b，ab，c与a成30角，则c与b成角的范围是 （ ）A. B. C. D. 解A直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值
9、是6065.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，连接CM,MD可得MNCD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN所以在RTBMN中，MN求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=B
10、C=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF3，则AD,BC所成的角为（ ）A.30 B.60C.90 D.120解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67. 直线a是平面的斜线，b在平内，已知a与b成60的角，且b与a在平内的射影成45角时，a与所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解A68. m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，与交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不可能平
11、行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 设m/n,由于m在外，n在内， m/ 而过m与交于l m/l，这与已知矛盾， m不平行n. 设mn，在内作直线l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交（若a/n 则nl，与已知矛盾） m, ml与已知矛盾， m和n不能垂直. 综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所
12、成二面角的正切值等于 解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.解析：过E作EHBC，垂足为H. 过H作HGBC1，垂足为G.连EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC= 在RtBHG中：sinC1BC= HG=（设底面边长为1）. 而EH=1， 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为 解析：设AC、BD交于O点，则BOAC 且DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长已知，所以可求出BOD： 这是问题的一方面，另一方面为了
