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1、定积分的背景数学 王乃雪 江西高安二中 【教学目标】1.知识目标通过曲边梯形的面积问题、变速直线运动物体的路程问题、变力做功问题理解定积分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定积分的实际背景。2.能力目标通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能力；体会“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。3. .情感目标对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。【教学重难点】
2、1.教学重点了解以直代曲、逼近的数学思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。2.教学难点曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。【教学过程】一、创设情境，引入新课介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以及他的“割圆术”：刘徽(约公元225年295年)，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作九章算术，是中国最宝贵的数学遗产，影响、支配中国古代数学的发展1000余年，是东方数学的典范之一，与希腊欧几里得的几何原本所代表的古代西方数学交相辉映。他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理；定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计
3、算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆周率。在右图中的圆内作内接正多边形，通过变量来改变正多边形的边数，用正多边形面积来近似估计圆的面积。提问：1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形来表示吗？2.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办？3.用内接正多边形的面积来表示圆的面积，怎么计算圆周率？割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。 刘徽二、新课讲授曲边梯形的概念：由三条直线x轴、x=a、x=b和一条曲线围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。提问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那怎么求曲边梯形的面积？探究一、求曲边梯形
4、的面积问题1：求由x轴、直线x=1和曲线围成图形的面积（一） 分割为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，如下图所示。（二） 近似代替提问：1.我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2中的小矩形的面积和来代替由x轴、x=a、x=b和曲线围成的图形的面积吗？2.如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小？3.将区间0,1分的越细，误差越小吗？在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积会越来越接近由x轴、直线x=1和曲线围成的面积，而图3中的面积会越来越小，直至无限接近于0.因此，只要区间分的够细小，我们就可以用图1或者图2中的矩形的面积来近似代替由x轴、x=a、x=
5、b和曲线围成的图形的面积。下面以图1为例求不足近似的面积。把区间0，1等分成n个小区间：；每个区间长度为，第个小矩形的高度为，所以第个小矩形的面积为。（三） 求和（四） 逼近(求极限)当分割无限变细，即时，所以所求曲边梯形的面积为。练习1：仿照上面求不足近似面积的方法求图2中由x轴、直线x=1和曲线围成的图形的过剩近似面积探究二、变速运动的路程问题提问: 1.匀速直线运动路程公式是什么？2.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以用什么表示？3.如果是变速直线运动，路程怎么求？问题2：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中汽车的速度v是时间t的函数：,请估计汽车
6、在刹车过程中滑行的距离s。用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。提问:1. 仿照问题1中的近似方法将时间区间0,55等分，得到的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间0,510等分呢？2. 哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎么办？首先将滑行时间5等分，若用近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是；若用近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是。为了使误差更小，将滑行时间10等分，用类似的方法求得过剩近似值为；不足近似值为。按照这样的思路继续将时间分细，我们就会得到更精确的估计值，当小时间间隔长度趋于0时，这两种估计值就都趋于
7、汽车滑行的路程。方法归纳总结:求曲边梯形的面积分为以下几个步骤1. 将区间分割；2. 近似代替(一般用不足近似和过剩近似两种代替方法)；3. 求近似面积和；4. 求极限，让，得到准确面积。练习2：由直线x=1,y=0和曲线围成一个曲边梯形，将区间0,14等分，则曲边梯形面积的近似值(过剩近似)是( ).A. B. C. D. 三、小结求曲边梯形面积四步曲：1. 分割化整为零2. 近似代替以直代曲3. 求和积零为整4. 逼近刨光磨平四、作业：（思考题）一根弹性系数为0.4N/cm的弹簧，其拉力随着弹簧拉伸的长度x的和变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.在不考虑摩擦的情况下，物体在力F的作用下匀速运动，从原来位移移动10cm。估计这一过程中拉力所做的功W。请按照分割、近似代替、求和、逼近的步骤求出该拉力在这个过程中所做的功.
