《2006-2008数理经济学试题(答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006-2008数理经济学试题(答案)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 一、集合的证明一、集合的证明 1. 凸集的定义。 2. (1) S=() 2 2,xyyx 证明： 2 22 2 112211 2,2,),),xyxySyxyx则有、（任取（ )()1 ()()( )(04)(,2)( 21 2 xftxtfxf xfxfxxf t += =是严格凸函数，则令 是凸集 即 SSyx yxyyttyxtxtxxf tt ttttt yxxyyx（ 证明：3, 3,),), 22112211 yxyxSyxyx则有、（任取（ 2 2 1 1 3 , 3 , 0, 0 x y x yyx而 )()1 ()()( )(00 6 )(, 3 )( 21 3 xf
2、txtfxf xfx x xf x xf t += =是严格凸函数，则令 是凸集 的线性组合，、和、分别是和而 即 SSyx yxyxyyxxyx y x yytty x t x t x xf tt tttt t t t t t +=且 () ()() 2 2222 212 2222 12 11 (1)0 Dxx xx = = 的海塞矩阵是负半定的)(xf 是凹函数的时候，当)(1xf+ （2）不是凹函数）得，的时候，由（当)(11xf+ 11 1212 1211 121212 1112 121212 0 ( )(x)(1) (1) xxx x f xHxxxxxx x xxxx x = 列出
3、的加边海塞矩阵 2222 1121 ,010( 1)0DxxD += 且 2232322 2122 ()0( 1)0DxxD = 但不是凹函数的情况下是拟凹函数，在1)(+xf 3. （课后习题）(x)f为一次齐次函数，所以， ( ) ( )( ) iii h txtf xf x gt g xxx = ( ) /( ) / ( ) /( ) / ii jj h txxf xx h txxf xx = 所以，该式关于0t 是个常数。 水平集为： 000 ()( ) ( )L yx h xyx g f xy= 4 4. （课后习题） (1) 拟凹的，上优集为凸集。 (2) 不是凹的。取 12 1
4、11 (1,1),( , ), 2 22 xxt= 3 3 ( , ) 4 4 t x = 2122 911111 ()()()()( ) 1622224 t f xf xf x= ( , )f x y的海赛矩阵正定。 ( , )f x y是严格的凸函数。 驻点 * (,)(1,2)xy=是( , )f x y 的全局唯一最小值点。 五、等式约束极值问题五、等式约束极值问题 1. 解：(1) 21 11 Ux =， 21 22 Ux =； 22 111 (1)Ux =， 1221 0UU=， 22 222 (1)Ux =； 所以，考差海赛矩阵： 22 1 22 2 (1)0 (x) 0(1)
5、x H x = ，由于1 海赛矩阵负定。效用函数( )Ui是严格凹函数。 (2) 构造拉格朗日函数 121 122 ()()LxxIp xp x =+， 求解. .F OC： 7 21 11 1 21 22 2 1 122 0 0 0 L xp x L xp x L Ip xp x = = = 1 1 11 * 1 1 12 I p x pp = + ； 1 1 11 * 2 2 12 I p x pp = + 。 此即所求的需求函数。 (3) 11 11 11 1111 11 111 22 22 2 1212 ( 1)0 11 ()() xI pI p pp p pppp = = + 当商品
6、2的价格增加时，商品1的需求量 1 x会增加。此即说明，商品1与商 品2是替代品。 2. 解： (1) 依题意，构造拉格朗日函数 121 122 1 () 4 Lq qp qp qy=+ 求解F.O.C： 21 1 12 2 1 122 1 0 4 1 0 4 0 L qp q L qp q L p qp qy =+= =+= =+= 解得， * 12 1212 ,. 228 yyy qq ppp p = 消费者的需求函数即 12 12 , 22 yy qq pp = 。 (2) 由上可得， 2 12 1212 11 . 44 2216 yyy uq q ppp p = * 1212 2 0.
7、 168 uyy yp pp p = 即说明收入的边际效用为正。得证。 8 3. 考察海赛矩阵： 7331 4444 3371 4444 31 1616 (x) 13 1616 xyxy H xyx y = ， 由于在凸三角域B上： 71 44 2 1 2 3 0 16 U Dxy x = ， 33 22 2 1 0 32 Dxy =， ( , )U x y在凸三角域B上为凹函数。 考虑点(1,1)B，由于,x yU，有： (1,1)(1,1) 111 (1)(1)(1)(1)(2)0 444 UU xyxyxy xy +=+=+ 所以点(1,1) 是( , )U x y在凸三角域B上的最大值
8、点。 六、不等式约束下的静态优化六、不等式约束下的静态优化 1. 解： 121 122 ln()LxxIp xp x=+构造拉格朗日函数 根据库恩塔克条件，可得： 111 11 222 222 1 122 1000 000 000 LL pxx xx LL pxx xxx LL Ip xp x = = = = 在此问题中，边际效用 1 u和 2 u均为正，因此最后不会有收入剩余，否则可以 通过继续增加消费，使得效用增加，因此预算约束是紧的，即0；在本题中， 2 x一定为正数。因此，只需要讨论两种情形： (1)000 21 =xx 9 1 1 2 22 22 10 0 0 L p x L p x
9、x L Ip x = = = 此时： 12 2 22 1 0 . I xx p x pI Ip = = 求得消费者的需求函数为： ，； 影子价格为：， 且以上关系式满足: (2) 000 21 xx 1 1 2 22 1 122 10 0 0 L p x L p xx L Ip xp x = = = = 此时： 11 12 12 , Ipp xx pp = 求得消费者需求函数为： ； 221 1 x pp =影子价格为：； 1 .Ip且以上关系式满足： 2. 解：构造拉格朗日函数： 0.50.5 121 122 ()LxxLp xp x=+ 根据Kuhn-Tuker定理，有 0.50.5 12
10、1 1 0.50.5 122 2 1 122 0.50 0.50 0 L xxp x L xxp x L Lp xp x = = = 10 1 122 0 ()0Lp xp x = 解方程组，得消费者均衡点： * 12 12 (,)(,) 22 LL xx pp =； 以及拉格朗日乘子： * 0.50.5 12 1 2pp = 最优化时，不等式约束刚好束紧。 考虑加边海赛矩阵： 12 1.50.50.50.5 1 1212 0.50.50.51.5 2 1212 0 (x)0.25()()0.25()() 2222 0.25()()0.25()() 2222 pp LLLL Hp pppp L
11、LLL p pppp = 考虑顺序主子式： 12 1.50.50.50.51.51.5 3112 1212 0.50.50.51.5 2 1212 0 2 0.25()()0.25()()0 2222 0.25()()0.25()() 2222 pp LLLL Dppp ppppL LLLL p pppp = = ， 满足二阶条件。 3. 略。 七、微分系统七、微分系统 1. 32xxy yx = = ? ? 解：令0,0xy=?，可得均衡点： * (,)(0,0)xy= 对于以上线性微分方程系统，考察其系数矩阵： 32 10 A = 可以求得对应的特征根， 12 2,1= = 11 22 1212 1 , 2 tttt xAeA eyAeA e =+= ， 其中 12 ,A A为待定常数，由系统初始条件决定。 考察系统稳定性： 由于 12 20,10= = 该系统在 * (,)(0,0)xy=结点处，是渐近稳定的。 （Note：相位图分析）
