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1、坐标系与参数方程一 考纲（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程二、坐标系与参数方程命题分析解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。内容主要涉及曲线与极坐标方程、
2、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。三、考点（一）方程互化问题互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或 （的象限由点(x,y)所在的象限确定）名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.1、极坐标方程与直角坐标方程的互化考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）（201
3、6全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；答案：（）考点：圆的极坐标方程与普通方程互化命题意图：重点考查了转化与化归能力试题解析：（I）由可得的极坐标方程总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性.强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I） 求，的极坐标方程；解：（）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程
4、为考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）（2015新课标2 ，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t 0），其中0 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；答案：和考点：直角坐标及极坐标方程的互化试题解析：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.联立 解得 或所以与交点的直角坐标为和总结提升：1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公
5、式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.强化训练1（2016 全国卷3，23）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（I） 写出的普通方程和的直角坐标方程；答案：的普通方程为，的直角坐标方程为. 2、参数方程普通方程的互化考题1（参数方程化为普通方程）（2017课标3，22）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l
6、3：(cos+sin)=0，M为l3与C的交点，求M的极径.答案：（1）；（2）试题解析：（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为，消去k得 ， 即C的普通方程为.（2）化为直角坐标方程为，联立 得 ， 与C的交点的极径为. 考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程总结升华：（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。（2）利用将极坐标方程化直角坐标方程强化训练1.（2017课标1，22）
7、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；答案：（1），试题解析：（1）曲线的普通方程为当时，直线的普通方程为由解得或从而与的交点坐标为，2. （2016高考新课标23）在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a答案：（I）圆,（II）1试题解析：（均为参数）,为以为圆心,为半径的圆方程为,即为的极坐标方程,两
8、边同乘得,即：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为得：,即为,考题2（普通方程化为参数方程化）已知曲线C：，直线l： (t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解解：（1）曲线C的参数方程为 （为参数）故直线l的普通方程为2x+y-6=0名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化（二）弦长问题考题1. 1（2016江苏21）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得
9、，即，解得，.考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题总结升华：1、“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法：（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式计算。其中，k为直线的斜率，x1、x2为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在) （2）利用直线的参数方程来解； （3）转化为极坐标方程
10、来计算，极坐标方程中的几何意义就表示距离。变式训练1（2015新课标2，23）在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I）求与交点的直角坐标；（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.答案：（I）；（II）4.试题解析：解：（I）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.（II）曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以,当时取得最大值,最大值为4.2.（2016全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程
11、；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率答案：（）；（）.试题解析：（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.（三）距离问题考题2 2016高考新课标3，23在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.答案：（）的普通方程为，的直角坐标方程为；（）试题分析：利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普
12、通方程，利用公式求C2的极坐标方程即可；利用参数方程表示出P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立PQ=d(a)的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P坐标即可。试题解析：（）的普通方程为，的直角坐标方程为（）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 考点：极坐标方程，参数方程化为普通方程；点到直线的距离问题；利用辅助角公式求最值命题方向：选做题命题意图：熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式，点到直线距离公式，以及数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力总结提高：一般地，涉及椭圆
13、上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解强化训练1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为答案：1试题解析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式2. （2015高考陕西，23）在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.(I)写出的直角坐标方程；(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.答案：(I) ； (II) .3.（2017全国卷1，22）在直角坐标
14、系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解：（1）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为由解得或从而与的交点坐标为（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为当时，的最大值为，由题设得，所以；当时，的最大值为，由题设得，所以综上，或（四）面积问题考题1.（2015高考新课标1，23）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.答案：（）,（）试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即
15、可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为. （）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=.考点:直角坐标方程与极坐标互化；三角形面积问题方法：设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质即可解决问题总结提升：本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长，面积等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。变式训练1.(2017课标II，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）M
