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1、2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1已知,则的值为 ( )A1. B. C. D.2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为 ( )A5. B6. C7. D8.3方程的解的个数为 ( )A1个 B2个 C3个 D4个.4今有长度分别为1,2,9的线段各一
2、条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( )A5组. B7组. C9组. D11组.5如图,菱形ABCD中,则( )A. B. C. D.6已知,则的值为 ( )A1. B. C2. D.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1在ABC中,已知,则 2二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若ABD和OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则 3能使是完全平方数的正整数n的值为 4如图,已知AB是O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,
3、D为EF的中点,则AB 第二试 (A)一、(本题满分20分)已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根求的值二(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,对角线交于点,且,为的中点求证:(1);(2)三(本题满分25分)已知为正整数,设,O为坐标原点若,且(1)证明:;(2)求图象经过三点的二次函数的解析式第二试 (B)一(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,对角线交于点,且求证:三(本题满分25分)已知为正整数,设,O为坐标原点若,且)求图象经过三点的二次函数的解析式第二试 (C)一(本题满
4、分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二(本题满分25分)如图,已知为锐角内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点如果,求证:是的平分线三(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第8页(共8页)答案第一试一、选择题1、【答】B.由可得,即,即,即,所以2、【答】B.设的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为显然,于是由三边关系,得 解得所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3、【答】C.当时,方程为,即,解得,均满足当时,方程为,即,解得,满足综上,原方程有3个解4、【答】C.
5、显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等又因为,所以正方形的边长不大于由于; ; ; ; 所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为14595、【答】 D.过F作AB的垂线,垂足为H,又,从而FHE是等腰直角三角形,所以HEFH, 6、【答】C.由已知等式得,所以于是,所以 ,即。代入,得,解得所以 二、填空1、【答】 。延
6、长AB到D,使BDBC,连线段CD,则,所以CACD。作于点E,则E为AD的中点,故,.在RtBCE中,所以,故 2、【答】 2由已知,得,过D作于点E,则,即,得,所以或又,所以又,即,得3、【答】 11.当时,若它是完全平方数,则n必为偶数若,则;若,则;若,则;若,则。所以,当时,都不是完全平方数当时,若它是完全平方数,则为一奇数的平方。设(k为自然数),则由于和一奇一偶,所以,于是,故4、【答】 24. 设,则连AD,BC因为AB为O的直径,AF为O的切线,所以又因为D为RtAEF的斜边EF的中点, , , , 在RtAEF中,由勾股定理得 ,即 设,由相交弦定理得 ,即, 又 , 又
7、, ,从而在RtACB中,由勾股定理得 ,即, 联立,解得所以 第二试A1、解 依次将题设中所给的四个方程编号为,设是方程和方程的一个相同的实根,则 两式相减,可解得5分设是方程和方程的一个相同的实根,则两式相减,可解得。所以 10分又方程的两根之积等于1,于是也是方程的根,则。又 ,两式相减,得 15分若,则方程无实根,所以,故于是 又,解得 20分2、证明 (1)由已知得 ,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心 5分作于点,知为的中点,所以,从而 10分(2)作于点,则又, , 15分 RtRt, ,又,所以,故,所以 25分3、解 (1)因为,所以,即由,得5分又,从而有,即 10分(2)
8、由,知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根,从而,解得。又为正整数,故或 15分当时,方程为,没有整数解当时,方程为,两根为综合知: 20分设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得所以,图象经过三点的二次函数的解析式为25分 第二试B2证明 由已知得 ,从而四点共圆,为直径设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心5分作于点,则M为BD的中点,所以,从而 10分作于点,则又, , 15分 RtRt,又,所以,所以,所以25分3解 因为,所以 ,即由,得5分又,从而有,即 10分又,故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根,从而,解得。又为正整数,故或 15分当时,方程为,没有整数解当时,方程为,两根为综合知: 20分设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得所以,图象经过三点的二次函数的解析式为 25分第二试C2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页(共8页)证明 如图1,作于点,于点,于点,于点设, , 5分若,如图2,作,分别交于点,则, , 若,则若,同理可证 15分, , , 20分又, 又因为是的平分线,所以, 显然,即, ,是的平分线 25分