《2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.2 反证法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.2 反证法 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业 A 组 基础巩固 1命题“ABC 中，若AB，则 ab”的结论的否定应该是( ) Aab Bab Cab Dab 解析：“ab”的否定应为“ab 或 ab” ，即 ab.故应选 B. 答案：B 2用反证法证明命题：“a，b，c，dR，ab1，cd1，且 acbd1，则 a，b，c，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) Aa，b，c，d 全都大于等于 0 Ba，b，c，d 全为正数 Ca，b，c，d 中至少有一个正数 Da，b，c，d 中至多有一个负数 解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即 a，b，c，d 全都大于等于 0. 答案：A 3 “自然数 a，b，c 中恰有一个偶
2、数”的否定正确的为( ) Aa，b，c 都是奇数 Ba，b，c 都是偶数 Ca，b，c 中至少有两个偶数 Da，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析：自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶 数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数所以否定正确的是 a，b，c 中都是奇数或至 少有两个偶数 答案：D 4给定一个命题“已知 x10，x21 且 xn1，证明对任意正整数 n 都有 x3 n3xn 3x2 n1 xnxn1” ，当此题用反证法否定结论时应是( ) A对任意正整数 n 有 xnxn1 B存在正整数 n 使 xnxn1
3、C存在正整数 n 使 xnxn1 D存在正整数 n 使 xnxn1且 xnxn1 解析：“对任意正整数 n 都有 xnxn1”的否定为“存在正整数 n 使 xnxn1” 答案：B 5设 a，b，c(，0)，则三数 a ，c ，b 中( ) 1 b 1 a 1 c A都不大于2 B都不小于2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2 解析： (a 1 b) (c 1 a) (b 1 c) (a 1 a) (b 1 b) (c 1 c) a，b，c(，0)，a 2，b 2， 1 a a( 1 a) 1 b b( 1 b) c 2， 1 c c( 1 c) 6， (a 1 b) (c 1 a) (
4、b 1 c) 三数 a 、c 、b 中至少有一个不大于2，故应选 C. 1 b 1 a 1 c 答案：C 6命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 _ 解析：“至少有一个”的否定是“没有一个” 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形 7ABC 中，若 ABAC，P 是ABC 内的一点，APBAPC，求证 BAPCAP. 答案：BAPCAP 或BAPCAP 8用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ABC9090C180，这与三角形内角和为 180相矛盾，则 AB90不成立； 所以一个三角形中不能有两个直角； 假设A，B，C 中
5、有两个角是直角，不妨设AB90. 正确顺序的序号排列为_ 解析：由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定 结论即，即顺序应为. 答案： 9已知 a1，求证以下三个方程： x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实数 解 证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即： Error!Error! Error!Error! a1，这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个 3 2 方程有实数解 10求证：不论 x，y 取何非零实数，等式 总不成立 1 x 1 y 1 xy 证明：假设存在非零实数
6、 x，y 使得等式 成立 1 x 1 y 1 xy 于是有 y(xy)x(xy)xy， 即 x2y2xy0， 即(x )2 y20. y 2 3 4 由 y0，得 y20. 3 4 又(x )20， y 2 所以(x )2 y20. y 2 3 4 与 x2y2xy0 矛盾，故原命题成立 B 组 能力提升 1有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲 说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获 奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假
7、的，同理可推出乙、丙、 丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙 答案：C 2若ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定 解析：分ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点 D 在 BC 上)，则 ADBADC，若ADB 为钝角，则ADC 为锐角而 ADCBAD，ADCABD，ABD 与ACD 不可能相似，与已知不符，只有当 ADBADCBAC 时，才符合题意 2 答案：B 3已知数列an，bn的通项公式分别为 anan2，bnbn1(a，b 是常数)，且 ab，那么两个数列中序号与数值均相同的
8、项有_个 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得 anbn，由题意 ab，nN*， 则恒有 anbn，从而 an2bn1 恒成立，不存在 n 使 anbn. 答案：0 4完成反证法证题的全过程设 a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，求证： 乘积 p(a11)(a22)(a77)为偶数 证明：假设 p 为奇数，则 a11，a22，a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇 数，故有奇数_0.但 0奇数，这一矛盾说明 p 为偶数 解析：据题目要求及解题步骤， 因为 a11，a22，a77 均为奇数， 所以(a11)(a22)(a77)也为奇数 即(a1a2a7)(127)为奇数 又
9、因为 a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列， 所以 a1a2a7127，故上式为 0. 所以奇数(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127)0. 答案：(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127) 5已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a 中至少有一个 不大于 . 1 4 证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a 都大于 ， 1 4 即(1a)b ，(1b)c ，(1c)a . 1 4 1 4 1 4 a，b，c 都是小于 1 的正数， ， ， ， 1ab 1 21bc 1 21ca 1 2 .(*) 1ab1bc
10、 1ca 3 2 又， 1ab 1ab 21bc 1bc 21ca 1ca 2 1ab1bc 1ca 1ab 2 1bc 2 1ca 2 (当且仅当 1ab,1bc,1ca，即 abc 时，等号 3abcabc 2 3 2 1 2 成立)，与(*)式矛盾 假设不成立，原命题成立， 故(1a)b，(1b)c，(1c)a 中至少有一个不大于 . 1 4 6求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形 证明：如图，设抛物线方程为 y22px(p0)， 在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 则 y 2pxi(i1,2,3,4)， 2 i 于是直线 AB 的斜率为 kAB， y2y1 x2x1 2p y1y2 同理：kBC，kCD，kDA. 2p y3y2 2p y4y3 2p y1y4 假设四边形 ABCD 为平行四边形， 则有 kABkCD，kBCkDA， 即有Error!Error! 得 y1y3y3y1， y1y3，同理 y2y4， 则 x1x3， y2 1 2p y2 3 2p 同理 x2x4， 由Error!Error!，Error!Error!. 显然 A，C 重合，B，D 重合这与 A，B，C，D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不 成立 四边形 ABCD 不可能是平行四边形.
