《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3．2 第3课时 空间向量与空间角、距离 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3．2 第3课时 空间向量与空间角、距离 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业 A 组 基础巩固 1在矩形 ABCD 中，AB1，BC，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平 2 面 ABCD 所成角是( ) A30 B45 C60 D90 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，C(1， ，0)， 2 (1， ，1)， PC 2 平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1)， 所以 cos，n PC PC n |PC |n| ， 1 2 所以，n120， PC 所以 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60， 所以 PC 与平面 ABCD 所成角为 30，故选 A. 答案：A 2在长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1
2、C 和 C1D 与底面所成角分别为 60和 45， 则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为( ) A. B 6 4 10 4 C. D. 3 2 3 4 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160， DC1D145， 设 B1C11，CC1DD1. 3 C1D1，则有 3 B1(，0,0，)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，) 33333 (0,1，)， B1C 3 (，0，) C1D 33 cos，. B1C C1D B1C C1D |B1C |C1D | 3 2 6 6 4 答案：A 3已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D 为垂 足
3、若 AB2，ACBD1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) A. B. 2 3 3 3 C. D1 6 3 解析：平面 平面 ，且 ACl，BDl，故 AC平面 ，BD平面 ，依 题意建立坐标系如图所示，在 RtACD 中，可得 CD，故 A(0,0,1)，B(1， 2 ，0)，C(0，0,0)，D(0， ，0)， 22 则(0,0,1)，(1， ，0)，(0， ，0) CA CB 2 CD 2 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则Error!xy，z0， 2 令 y1，可得 n(，1,0)， 2 故所求距离 d.故选 C. |CD n| |n| 2 3 6 3 答案：
4、C 4.如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中， AA1ABAC，ABAC，M 是 CC1的中点，Q 是 BC 的中点， P 是 A1B1的中点，则直线 PQ 与 AM 所成的角为( ) A. B. 6 4 C. D. 3 2 解析：以 A 为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AA1ABAC2， 则(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，(1,0,2)， AM QP 所以0， QP AM 所以 QP 与 AM 所成角为 . 2 答案：D 5已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则 CD 与
5、平面 BDC1所成角 的正弦值等于( ) A. B. 2 3 3 3 C. D. 2 3 1 3 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA12AB2，则 B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)， DB (0,1,2)，(0,1,0)设平面 BDC1的法向量为 DC1 DC n(x，y，z)，则Error!即Error!令 z1，则 y2，x2，所以平面 BDC1的 一个法向量为 n(2，2,1)设直线 CD 与平面 BDC1所成的角为 ， 则 sin |cosn，| ，故选 A. DC | nDC |n|DC | 2 3 答案：A 6设
6、A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，D(1，1,1)，则直线 AD 与平面 ABC 的夹角 为_ 解析：设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z) n0，n0， AB AC 所以Error! 即Error! Error! 令 x1，则 n(1,1,0)， cosn， ， AD 1 01 10 1 2 2 1 2 ，n . AD 3 直线 AD 与平面 ABC 的夹角 . 2 3 6 答案： 6 7在空间中，已知平面 过点(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0，a)(a0)，如 果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_. 解析：设平面 的法向量为 n1(
7、x，y，z)， 记 A(3,0,0)，B(0,4,0)， C(0,0，a)(a0)，则(3,4,0)，(3,0，a) AB AC 由题意知Error!即Error! 取 z3 得Error! n1(a， ，3)，而 n2(0,0,1)是平面 xOy 的一个法向量， 3a 4 则 cosn1，n2，又 a0，解得 a. n1n2 |n1|n2| 3 925 16a2 1 2 2 12 5 答案： 12 5 8已知矩形 ABCD 中，AB1，BC，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 3 平面 ABC 与 ACD 垂直则 B 与 D 之间的距离为_ 解析：由 B，D 分别向 AC 作垂线，垂
8、足分别为 M，N，则可求得 AM ， 1 2 BM，CN ，DN. 3 2 1 2 3 2 MN1.由于， BD BM MN ND |2()2|2|2|22() BD BM MN ND BM MN ND BM MN MN ND BM ND 21222(000) ， ( 3 2) ( 3 2) 5 2 |. BD 10 2 答案： 10 2 9.如图所示，已知在四面体 ABCD 中，O 为 BD 的中点， CACBCDBD2，ABAD， 2 (1)求证：AO平面 BCD； (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 解析：(1)证明：因为 BODO，ABAD，所以 AOBD. 因为 BOD
9、O，BCCD， 所以 COBD. 在AOC 中，由已知可得 AO1，CO，而 AC2，所以 3 AO2CO2AC2， 所以AOC90，即 AOOC.因为 BDOCO，所以 AO平面 BCD. (2)以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,0,0)， C(0， ，0)，A(0，0,1)，(1,0,1)， 3 BA (1，0)，所以 cos，所以 CD 3 BA CD BA CD |BA |CD | 2 4 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为. 2 4 10.如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB
10、90. (1)求证：BC平面 PAC； (2)若二面角 DPCA 的余弦值为，求点 A 到平面 PBC 的距 5 5 离 解析：(1)证明：PA底面 ABCD，BC平面 ABCD， PABC， ACB90，BCAC，又 PAACA， BC平面 PAC. (2)设 APh，取 CD 的中点 E，则 AECD， AEAB，又 PA底面 ABCD， PAAE，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， P(0，0，h)， C，D，B(0,2,0)， ( 3 2 ，1 2，0) ( 3 2 ，1 2，0) (0,0，h)， AP AC ( 3 2 ，1 2，0) PC ( 3 2 ，1 2，
11、h) ，求得平面 PAC 与平面 PDC 的一个法向量分别为 PD ( 3 2 ，1 2，h) n1(h，h,0)，n2. 3 (h，0， 3 2) cosn1，n2， n1n2 |n1|n2| 5 5 h. 3 又可求得平面 PBC 的一个法向量 n3(3， ，2)， 3 所以，点 A 到平面 PBC 的距离为 d. | AP n3 |n3| | 2 3 4 3 2 B 组 能力提升 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面 B1BD 所 成的角的正弦值为( ) A B. 10 5 10 5 C D. 15 5 15 5 解析：建立如图空间直角坐标
12、系，设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)， B(2，2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1) (2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1) BD BB1 BE 设平面 B1BD 的法向量为 n(x，y，z) n，n， BD BB1 Error!Error! 令 y1，则 n(1,1,0) cosn， ，设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 ， BE nBE |n|BE | 10 5 则 sin |cosn， |. BE 10 5 答案：B 2正方形 ABCD 所在平面外有一点 P，PA平面 ABCD.若 PAAB，则平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小为( ) A
13、30 B45 C60 D90 解析：建系如图，设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)， D(1,0,0)，C(1,1,0) 平面 PAB 的法向量为 n1(1,0,0) 设平面 PCD 的法向量为 n2(x，y，z)， 则Error!得Error! 令 x1，则 z1. n2(1,0,1)，cosn1，n2. 1 2 2 2 平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值为. 2 2 此角的大小为 45. 答案：B 3直线 l 的方向向量 a(2,3,2)，平面 的一个法向量 n(4,0,1)，则直线 l 与平面 所成角的正弦值为_ 解析：设直线 l 与平面
14、所成的角是 ，a，n 所成的角为 ， sin |cos |. | 2，3，24，0，1 17 17 | 6 17 答案： 6 17 4在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AA19，BC6，N 为 BC 的中点， 3 则直线 D1C1与平面 A1B1N 的距离是_ 解析：C1D1平面 A1B1N， 所求距离等于 D1到平面 A1 B1N 的距离， 不妨令|AB|1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(6 ，0,9)， 3 B1(6，1,9)，N(3，1,0)， 33 (0,1,0)， A1B1 (3，0，9) B1N 3 设平面 A1B1N 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!即Error! 取 z，则 n (3,0，)， 33 又(6，0,0)，故 D1到平面 A1B1N 的距离为 D1A1 3 d9. |D1A1 n| |n| 3 6 3 3202 32 答案：
