《2017-2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：6-3（2）数学归纳法（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：6-3（2）数学归纳法（二） （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3 数学归纳法(二) 一、基础达标 1用数学归纳法证明等式 123(n3)(nN*)，验证 n3n4 2 n1 时，左边应取的项是 ( ) A1 B12 C123 D1234 答案 D 解析 等式左边的数是从 1 加到 n3. 当 n1 时，n34，故此时左边的数为从 1 加到 4. 2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时，第一步证 明中的起始值 n0应取 ( ) A2 B3 C5 D6 答案 C 解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当 n5 时， 253252126，第一个能使 2nn21 的 n 值为 5，故选 C. 3用数学归纳法证
2、明不等式 1 (nN*)成立，其初始值 1 2 1 4 1 2n1 127 64 至少应取 ( ) A7 B8 C9 D10 答案 B 解析 左边1 2，代入验证可知 n 的 1 2 1 4 1 2n1 1 1 2n 11 2 1 2n1 最小值是 8. 4用数学归纳法证明不等式(nN*)的过程中，由 1 n1 1 n2 1 2n 11 24 nk 递推到 nk1 时，下列说法正确的是 ( ) A增加了一项 1 2k1 B增加了两项和 1 2k1 1 2k1 C增加了 B 中的两项，但又减少了一项 1 k1 D增加了 A 中的一项，但又减少了一项 1 k1 答案 C 解析 当 nk 时，不等式
3、左边为，当 nk1 时，不 1 k1 1 k2 1 2k 等式左边为，故选 C. 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2 5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除” ，要利用归纳 假设证 nk1 时的情况，只需展开_ 答案 (k3)3 解析 假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整 除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只 需将 (k3)3展开，让其出现 k3即可 6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*)依次计算出 S1，S2，S3，S4后，可猜想
4、Sn的表达式为_ 答案 Sn 2n n1 解析 S11，S2 ，S3 ，S4 ，猜想 Sn. 4 3 3 2 6 4 8 5 2n n1 7已知正数数列an(nN*)中，前 n 项和为 Sn，且 2Snan，用数学归纳 1 an 法证明：an. nn1 证明 (1)当 n1 时a1S1， 1 2(a1 1 a1) a 1(an0)，a11，又1， 2 110 n1 时，结论成立 (2)假设 nk(kN*)时，结论成立，即 ak. kk1 当 nk1 时，ak1Sk1Sk 1 2(ak1 1 ak1) 1 2(ak 1 ak) 1 2(ak1 1 ak1) 1 2( k k1 1 k k1) 1
5、 2(ak1 1 ak1)k a2ak110， 2k1k 解得 ak1(an0)， k1k nk1 时，结论成立 由(1)(2)可知，对 nN*都有 an. nn1 二、能力提升 8k(k3，kN*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)为( ) Af(k)k1 Bf(k)k1 Cf(k)k Df(k)k2 答案 A 解析 三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面020(31)；五棱 柱有 5 个对角面232(41)；六棱柱有 9 个对角面545(51)； .猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱有 f(k)k1 个对角面 9对于不等式n1(nN
6、*)，某学生的证明过程如下：当 n1 时， n2n 11，不等式成立 121 假设 nk(nN*)时，不等式成立，即k1，则 nk1 时， k2k .假设 nk 时，不等式成 1 22 1 32 1 n12 1 2 1 n2 立则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_ 答案 1 22 1 32 1 k2 1 k12 1 k22 1 2 1 k3 解析 观察不等式中的分母变化知， . 1 22 1 32 1 k2 1 k12 1 k22 1 2 1 k3 11求证： (n2，nN*) 1 n1 1 n2 1 3n 5 6 证明 (1)当 n2 时，左边 ，不等式成立 1 3 1 4 1 5 1
7、6 5 6 (2)假设当 nk(k2，kN*)时命题成立，即 . 1 k1 1 k2 1 3k 5 6 则当 nk1 时， 1 k11 1 k12 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k1 1 k1 1 k2 1 3k ( 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1) 5 6 ( 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1) 5 6 ， (3 1 3k3 1 k1) 5 6 所以当 nk1 时不等式也成立 由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*均成立 12已知数列an中，a1 ，其前 n 项和 Sn满足 anSn2(n2)，计算 2 3 1 Sn S1，S2，S3，S4，猜
8、想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明 解 当 n2 时，anSnSn1Sn2. 1 Sn Sn(n2) 1 Sn12 则有：S1a1 ， 2 3 S2 ， 1 S12 3 4 S3 ， 1 S22 4 5 S4 ， 1 S32 5 6 由此猜想：Sn(nN*) n1 n2 用数学归纳法证明： (1)当 n1 时，S1 a1，猜想成立 2 3 (2)假设 nk(kN*)猜想成立， 即 Sk成立， k1 k2 那么 nk1 时，Sk1 1 Sk2 1 k1 k22 . k2 k3 k11 k12 即 nk1 时猜想成立 由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立 三、探究与创新 13
9、已知递增等差数列an满足：a11，且 a1，a2，a4成等比数列 (1)求数列an的通项公式 an； (2)若不等式对任意 nN*，试猜想 (1 1 2a1) (1 1 2a2) (1 1 2an) m 2an1 出实数 m 的最小值，并证明 解 (1)设数列an公差为 d(d0)， 由题意可知 a1a4a ，即 1(13d)(1d)2， 2 2 解得 d1 或 d0(舍去) 所以，an1(n1)1n. (2)不等式等价于 ， 1 2 3 4 5 6 2n1 2n m 2n1 当 n1 时，m；当 n2 时，m； 3 2 3 5 8 而，所以猜想，m 的最小值为. 3 2 3 5 8 3 2
10、下面证不等式 对任意 nN*恒成立 1 2 3 4 5 6 2n1 2n 3 2 2n1 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当 n1 时， ，成立 1 2 3 2 3 1 2 (2)假设当 nk 时，不等式， 成立， 1 2 3 4 5 6 2k1 2k 3 2 2k1 当 nk1 时， ， 1 2 3 4 5 6 2k1 2k 2k1 2k2 3 2 2k1 2k1 2k2 只要证， 3 2 2k1 2k1 2k2 3 2 2k3 只要证， 2k1 2k2 1 2k3 只要证2k2， 2k1 2k3 只要证 4k28k34k28k4，只要证 34，显然成立 所以，对任意 nN*，不等式 恒成立 1 2 3 4 5 6 2n1 2n 3 2 2n1
