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1、 第6章 推理与证明61合情推理和演绎推理61.1 归纳一、基础达标1某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案A2由集合a1，a1，a2，a1，a2，a3，的子集个数归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为()An Bn1C2n D2n1答案C解析集合a1的子集有，a1共2个；a1，a2的子集有，a1，a2，a1，a2共4个；集合a1，a2，a3的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C.3根据给出的数塔猜测123 45697等于()1921112931111239411111 2
2、34951111112 34596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案B解析由数塔运算积的知识易得B.4设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是整数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数答案C解析当n1时，值为0，当n2时，值为0，当n3时，值为2，当n4时，值为0，当n5时，值为6.5已知2，3，4，若6(a，b均为实数)，推测a_，b_.答案6356设函数f(x)(x0)，观察f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(
3、x)ffn1(x)_.答案解析先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.fn(x).7设Sn，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明解n1,2,3,4时，S1，S2，S3，S4.猜想：Sn.证明如下：，Sn(1)()()()1.二、能力提升8观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125答案D解析553 125,5615 625,5778 125,5
4、8的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为5 625,511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011545017末四位数字为8 125.9(2013湖北(理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n正方形数N(n,4)n2五边形数N(n,5)n2n六边形数N(n,6)2n2n.可以推测N(n，k)的表达式，由此计算
5、N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)(1)n2(2)n，于是N(n,24)11n210n，故N(10,24)1110210101 000.10(2013陕西(理)观察下列等式： 1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案122232(1)n1n2n(n1)解析分n为奇数、偶数两种情况当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2.当n为奇数时，第n个等式n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1)11根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它
6、的通项公式(1)a1a，an1；(2)对一切的nN*，an0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(2)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230.对一切的nN*，an0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN*)12观察以下等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin240cos270sin 40cos 70，sin215cos245sin 15cos 45.写出反映一般规律的等式，并给予证明解反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos cos 30sin sin 30)2sin (cos cos 30sin sin 30)sin2(cos sin )2sin cos sin2sin2cos2sin2sin cos sin cos sin2(sin2cos2).三、探究与创新13在数列an中，a11，an1，nN，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明解an中a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通项公式an(nN)证明如下：因为a11，an1，所以，即，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以1(n1)，即通项公式an(nN)
