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4、试试题中有这样一道题:已知,为锐角.(1)求证:sin+sinsin(+);(2)若sin2+sin2=sin(+),求证:+=2.参加考试的都是从教十年以上的数学教师,许多还是各校、区的中青年骨干,但对这道题的解答却不容乐观.许多教师能较好地解答第(1)问,不能完整地解答第(2)问.这里我们从大部分教师的解题失败出发,找出失败的原因,逐步分析出正确的解法,与大家共同经历一个思维的过程,并以小见大地分析教师在解题学习与教学中的缺憾.一、教师学的缺失首先,大部分教师能用反证法,结合和差化积知识证明第(1)问:（1）反设:sin+sin=sin(+),则2sin+2cos-2=2sin+2cos+
5、2.又,(0,2),+2(0,2),-2(-4,4),+2=-2,或+2=-2,=0或=0与,(0,2)矛盾.sin+sinsin(+).对第(2)问也延续第(1)问的方法,处理成:1-cos22+1-cos22=sin(+),即1-cos(+)cos(-) =sin(+).发现不能消去-和1,无法求得+的三角函数值,或使式子变得单纯,证明陷入困境.很多人无法调整,又不能回头追寻新的方法,结果无功而返.1. 缺乏解题分析的自觉性上述过程中,问题(2)没有解决,也很少有教师能自觉地分析自身解题的成败得失,吸取教训,挖掘有利因素,逐步向目标靠拢.事实上,事物往往具有两面性,我们不能消去-,就应当进
6、一步注意结论中的“1”,联想sin(+)的有界性,向目标靠近一大步.思路1由sin(+)1,得cos(+)cos(-)0,又+(0,),-(-2,2),cos(+)0,故0+2.这样,+的范围变小了,由2联想把正、余弦互换,进一步控制范围,使问题得证:由02-2,得0sincos;同理,0sincos.sin2+sin2sincos+cossin=sin(+),当且仅当sin=cos,sin=cos时,等号成立.+=2.这个方法虽千回百转,但抓住失败的原因,突出其他有利因素,成功地完成了证明.从教师的解题失败中,我们明显地感觉到,这些教师很大程度上仍停留在对题型的简单记忆和方法模仿上,思维的惯
7、性太大,缺乏对解题过程的自觉评估、有意监控,尤其是对不利、有利因素的全面分析,解题仅是一个“记流水账”的过程. 上述方法最关键的是,将范围缩小到0+2,然后正、余弦互换,成功地完成了不等式放缩.抓住了这个关键,我们可以省去前面的解题回路,得到更为简洁的方法.请看:思路2反设0+2,与思路1后面一样分别可得:sin2+sin2sin(+)与题设矛盾.+=2.2. 缺乏对反证法的全面认识第(1)问的结论以否定形式出现,教师都想到了反证法,证明奏效了.第(2)问以肯定的形式出现,反证法意识明显弱化.反证法往往是正面证明有困难时更需要想到的,我们常谓“正难则反”就是这个道理.现在(2)的正面突破有困难
8、,你为什么不“反”呢?一反就很容易形成上面的思路2了.其实,结论中也有解题信息.对于(1)我们也不要因为否定形式就一定用反证法,从正面思考,自然会问:不等!那是“恒大于?”“恒小于?”抑或“时大时小?”.如果是“恒大于”或“恒小于”直接证明也许更简单.于是产生:思路3(1),(0,2),0cos,cossincos+cossin=sin(+),显然sin+sinsin(+).这个过程对问题(2)的方法暗示程度更高,更有借鉴的价值!可见,大部分教师对反证法的理解也只停留在语言形式的表象上,没有从结论的本质上去认识反证法.3.缺乏对数学对象的辩证思考数学对象的深刻认识,就建立在对其多角度的观察上,
9、是辩证思考的结果.证明的开始,大家就陷入了习惯思维的窠臼,都只想从繁到简,从左到右,一个劲地埋头向右,连抬头看左的时间都没有.其实,谁都明白对一个公式(比较重要的等式)就有正用、逆用,证明也常从左到右、从右到左或左右开弓.对这个问题,如果我们辩证地处理,从右向左,很容易想到解题目标和放缩法,方法显得更加统一、自然.思路4(1)将思路3倒过来书写即可.(2)sin(+) =sincos+cossin,要等于sin2+sin2,显然要比较sin与cos,sin与cos的大小.化同名后,就发现要比较与2-的大小,这样就很自然地形成了反证法思路2或与之相仿的正面讨论.4.缺乏数形沟通的能力许多教师也试
10、图从几何图形上给出(2)的证明,但只知道把角和放在同一个三角形中,利用补角-(+)形成sin(+),没能够挖掘(2)所蕴涵的代数结构与几何结构的关系,解题同样未能奏效.参照“结论(+=2)中的解题信息”,则(2)的条件满足sin2+sin2=sin(+) =sin2(+),是勾股定理(余弦定理)结构,联想到构造的图形不仅应考虑到角,出现,+,也要考虑边,出现sin,sin,sin(+),利用单位圆或斜边长为1的直角三角形,就容易构造出如下的几何方法.思路5如右图,OA =1,ACO =ABO =90,则AB=sin,AC =sin,且O,B,A,C四点在以OA为直径的圆上.BC =2Rsin(
11、+) =sin(+).在ABC中,由余弦定理,得sin2(+) =sin2+sin2+2sinsincos(+),sin2(+) =sin(+)+2sinsincos(+),2sinsincos(+) =sin(+)sin(+)-10,cos(+)0.在OBC中,由余弦定理,得sin2(+)=cos2+cos2-2coscoscos(+)=2-sin(+) -2coscoscos(+),2coscoscos(+) =2-sin(+)-sin2(+)0,cos(+)0.cos(+) =0,即得+=2.在ABC中的一个附带结论就是sin+sinsin(+),这个图形能将(1)(2)问统一在一起,进
12、一步说明以sin,sin,sin(+)为边的构造是明智的选择.二、教师教的遗憾我们一直追求教学相长.尤其在新课程建设的今天,更应当突出学习能力的提高,学习自觉性的提升.教师自身在解题学习中的浅尝辄止,必然会表现在课堂教学中,上述问题的解决也反映教师在教学方面有许多值得改进的地方.1. 对教材深度阅读的遗憾在两角和与差的三角函数一节中,每个版本的教材都有类似于(1)的问题,像人教社的大纲教材高一数学(下)第38页,课标教材人教A版必修第139页,北师大版必修第127页,苏教版必修第101页都有,上海教师用的新课标沪教版数学高一第二学期第51页旁白有:“一般地,sin(+)sin+sin,cos(
13、+)cos+cos.”遗憾的是现在大部分教师对教材的重视仍然不够,尤其是有一定教学经验的教师,更容易陷入经验主义的“想当然”.他们认为,依教材无法应对高考,急功近利,盲目地堆砌题目.事实上,近年的高考特别注重“双基”的考查,区分度较大的压轴题的方法也多蕴藏在书本的例、习题中,上海试题的表现尤甚.课本既然说:“一般地”,那么有没有“特殊地”,特殊在哪?如何证明?怎样的证明更本质?相信善于深入研究的教师,在教这段内容的时候很容易得到较为简洁的思路3.2.对提出新问题教学的遗憾问题是学生学习的驱动力,是教师吸引学生、组织教学的关键.能不断提出好的问题,就能更好地促进数学学习.对于问题(1),相信大部
14、分教师在课堂上,或让学生猜想、反驳,或是自己强调,但没有深入,放过了一个好问题,造成了一片遗憾.如果能在针对:“一般地,sin(+)sin+sin,cos(+)cos+cos”的研究之后,再提出一些新问题,作为促进师生共同提高的手段会更好.如,提出姐妹题:“何时sin(-) =sin sin,cos(+) =coscos?”控制范围的深入题:“,0,2)时,sin+sin与sin(+)的关系如何?”“,(0,2)时,sin+sin与sin(+)的关系如何?”在发现当,(0,2)时sin+sinsin(+)后,也可以想到(0,1)上的数平方后会变小,故能提出:“sin2+sin2与sin(+)能相等吗?”这样较高层次的新问题.在问题的提出和解决过程中,教师由于思维定势的影响,往往只提出促进正面思考的问
