线性代数同济版线代第二章

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1、第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换,例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.,B,A,C,D,城市间的航班图情况常用表格来表示:,一、矩阵概念的引入,为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：,A B C D,A B C D,这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.,其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量,例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为：,这四种货物的单价及单件重量也可列

2、成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵,记作,二、矩阵的定义,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵，,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元.,行数不等于列数 共有mn个元素 本质上就是一个数表,行数等于列数 共有n2个元素,矩阵,行列式,行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零距阵可记作 O .,

3、例如：,三、特殊的矩阵,形如 的方阵称为对角阵 特别的，方阵 称为单位阵,记作,记作 ,同型矩阵与矩阵相等的概念,两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .,注意：不同型的零矩阵是不相等的.,例如,表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数.,四、矩阵与线性变换,n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,例 线性变换,称为恒等变换.,单位阵 En,投影变换,例 2阶方阵,以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换,例

4、 2阶方阵,2 矩阵的运算,例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：,试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量,其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量,解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,一、矩阵的加法,定义：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB，规定为,说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,知识点比较,矩阵加法的运算规律,设 A、B、C 是同型矩阵,设矩阵 A = (a

5、ij) ，记A = (aij)，称为矩阵 A 的负矩阵 显然,设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量,例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,二、数与矩阵相乘,定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为,数乘矩阵的运算规律,设 A、B是同型矩阵，l , m 是数,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称

6、为矩阵的线性运算.,知识点比较,其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量,例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为：,这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量,解：,以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及 总重量，其中 i = 1, 2, 3于是,其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量

7、,可用矩阵表示为,一般地，,一、矩阵与矩阵相乘,定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中,并把此乘积记作 C = AB,例：设,则,知识点比较,有意义.,没有意义.,只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例 P.35例5,结论： 矩阵乘法不一定满足交换律. 矩阵 ，却有 ， 从而不能由 得出 或 的结论,矩阵乘法的运算规律,(1) 乘法结合律,(3) 乘法对加法的分配律,(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）,(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即,推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶

8、方阵都是可交换的.,纯量阵不同于对角阵,(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义,显然,思考：下列等式在什么时候成立？,A、B可交换时成立,四、矩阵的转置,定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .,例,转置矩阵的运算性质,例：已知,解法1,解法2,定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称阵.,如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称阵.,对称阵,反对称阵,例：设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.

9、,证明：,从而 H 是对称阵,五、方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵， 假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn .,我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式,令 ，则 C = (cij)= AB ,从而 ,定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵.,元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列,性质,性质,证明,（设A，B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：,六、共

10、轭矩阵,运算性质,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ， 称为 的共轭矩阵.,3 逆矩阵,矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.,从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位 一个复数 a 0的倒数 a1可以用等式 a a1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入,对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有,定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得,这里 E 是 n 阶单位矩阵.,根据矩阵的乘法法

11、则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.,定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A1 .,下面要解决的问题是： 在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎样求 A1 ？,结论： ，其中,定理：若 ，则方阵A可逆，而且,推论：若 ，则 .,元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列,例：求二阶矩阵 的逆矩阵.,例：求3阶方阵 的逆矩阵.,解：| A | = 1，,则,方阵A可逆,此时，称矩阵A为非奇异矩阵,定理：若方阵A可逆，则 ,推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、

12、 、 与AB也可逆，且,线性变换,的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记,则上述线性变换可记作 Y = AX .,例：设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵,记,则上述线性变换可记作 Y = AX 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵.,已知 ，于是 ，即,4 矩阵分块法,前言,由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传. 家具的拆卸与装配 问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？,问题一：什么是矩阵分块法？,定义：用一些横线和竖线将

13、矩阵分成若干个小块，这种操作 称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,这是2阶方阵吗？,思考题,伴随矩阵是分块矩阵吗？ 答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不 是矩阵,问题二：为什么提出矩阵分块法？,答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.,分块矩阵的加法,若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即,则有,形式上看成是普通矩阵的加法！,分块矩阵的数乘,若l 是数，且,则有,形式上看成是普通的数乘运算！,分块矩阵的乘法,一般地，设 A为ml 矩

14、阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下：,按行分块以及按列分块,mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作 若将第 j 列记作 则,于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则,分块矩阵的转置,若 ，则 例如：,分块矩阵不仅形式上进行转置， 而且每一个子块也进行转置,分块对角矩阵,定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵， 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵 例如：,分块对角矩阵的性质,| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，则 | A | 0，并且,例:设 ，求 A1 解：,例：往证 Amn = Omn的充分必要条件是方阵ATA = Onn 证明：把 A 按列分块，有 于是 那么 即 A = O ,