《线形代数课件§1.7矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线形代数课件§1.7矩阵的秩（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.7 矩阵的秩,一、A的k阶子式,定义 设 是 矩阵，从A中任取k行k列 （kmin（m,n）,位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。,矩阵A的第一三两行，第二四两列相交处的元素所构成的二阶子式为,二、矩阵的秩,定义1.16 设A为 矩阵。如果A中不为零的子式最高阶数为k，即存在一个k阶子式不为零而所有的k+1阶子式皆为零，则称矩阵A的秩为k ，记作r（A） k 。当AO时，规定r（A）0。,1. r（A）r（AT）,2. 0rmin(m,n),3. 当r（A）min(m,n)时，称矩阵A为满秩矩阵。,所有三阶子式全为零, 无四阶子
2、式.,所以 r（A）=2,是满秩矩阵。,三、化为梯矩阵求矩阵的秩,梯矩阵:(1)元素全为零的行(如果有),位于矩阵的最下面;,(2)自上而下的各行中,从左边起的第一个非零元素左 边的零的个数,随着行数的增加而增加.,三、化梯矩阵求矩阵的秩,定理1.9 初等变换不改变矩阵的秩.,定理1.10 n阶方阵可逆的充分必要条件是 .,将定义与定理结合起来求秩：,例求矩阵 的秩。,矩阵有一个二阶子式 ，但它的一切三阶子式皆为零，故 。,例4设A为n阶非奇异矩阵，B为 矩阵。试证：A与B之积的秩等于B的秩，即,证：因为A非奇异，故,，即AB是B经s次初等行变换后得出的。 因而 。,皆为初等矩阵。,推广：若干可逆矩阵乘以矩阵B的秩等于B的秩.,如果一个n阶矩阵A是满秩的，则 。因而A非奇异； 反之亦然。,补充证明题,行变换,列变换,补充证明题,补充有关证明题,设A为n阶矩阵，证：,
