第十二章微分方程第十二章第3节可降阶的高阶微分方程

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1、1,四、小结,2,第三节 可降阶的高阶微分方程,一.,令,则,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,3,例1. 求解,解:,( 这里 ),4,5,二.,型的微分方程,设,则,于是原方程化为一阶方程,设其通解为,则,再一次积分, 得原方程的通解,6,7,例4. 求解,解:,设,则,代入方程得,分离变量,积分得,即,利用,得,于是有,两端再积分得,利用,得,因此所求特解为,8,三.,型的微分方程,设,则,故方程化为,设它的通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,9,例5. 求解,代入方程得,即,两端积分得,即,再分离变量积分得,故所求通

2、解为,解: 设,则,10,例6. 解下列初值问题,解: 令,则,代入方程得,积分得,利用初始条件 ,得,从而,但根据,积分得,再利用,得,故所求特解为,应取,11,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例7. 设函数,二阶可导, 且,过曲线,上任一点 P(x,y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线 ,区间 0, x 上以,且,恒为 1 ,求,解: 设曲线,由于,所以,于是,在点,处的切线倾角为,满足的方程 .,积记为,记为,12,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得方程,定解条件为,令,方程化为,则,解得,利用定解条件得,再解,得,故所求曲线方程

3、为,13,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 8,14,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 9,15,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,则,令,则,16,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号,17,解：,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,18,18,4、求,满足,的特解。,解：方程中不含 x 设,代入方程得,两边积分得,注意到初始条件,分离变量,两边积分,所求特解为,